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220 H. ESERCIZI SU EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI E SEPARAZIONE DELLE VARIABILI
(3) Compatibilità con i dati al bordo dell’equazione per X: Ottenuta la soluzione generale per
X(x) è necessario accoppiarle con opportune condizioni al contorno derivate dai dati iniziali e considerare
solo le soluzioni non nulle.
Considereremo solo due casi di condizioni al contorno, le condizioni di Dirichlet omogenee (Do) e le
condizioni di Neumann omogenee (No).
(Do): Condizioni di Dirichlet omogenee: u(t, 0) = u(t, π) = 0
Esse implicano X(0) = X(π) = 0. Imponiamo tali condizioni Φ(c1, c2, 0) = 0
e Φ(c1, c2, π) = 0 sulle soluzioni generali trovate ottenendo un sistema lineare
omogeneo in c1, c2, di cui dobbiamo escludere le soluzioni identicamente nulle.
Segno
Determinante
Sistema
Soluzioni
di ∆ del sistema
∆ > 0
∆ = 0
∆ < 0
c1 + c2 = 0
e µ1πc1 + e µ2πc2 = 0
c1 = 0
c1e µ1π + c2πe µ1π = 0
c1 = 0
eαπ (c1 cos ωπ + c2 sin ωπ) = 0
e µ2π − e µ1π = 0 c1 = c2 = 0
perché µ1 = µ2 Non accettabile
πe µ1π = 0
c1 = c2 = 0
Non accettabile
e απ sin ωπ c1 = 0, c2 ∈ R
Nullo solo se Accettabile solo
0 = ω ∈ Z se 0 = ω ∈ Z
(No): Condizioni di Neumann omogenee: ux(t, 0) = ux(t, π) = 0
Esse implicano ˙ X(0) = ˙ X(π) = 0. Imponiamo tali condizioni ˙ Φ(c1, c2, 0) = 0
e ˙ Φ(c1, c2, π) = 0 sulle soluzioni generali trovate ottenendo un sistema lineare
omogeneo in c1, c2, di cui dobbiamo escludere le soluzioni identicamente nulle.
Osserviamo che se λ = 0 allora µ1, µ2 = 0. Studiamo a parte λ = 0.
Segno
di ∆
∆ > 0
Sistema
µ1c1 + µ2c2 = 0
µ1e
Determinante
del sistema
Soluzioni
µ1πc1 + µ2e µ2πc2 = 0
µ1µ2(e µ2π
λ = 0
∆ = 0
µ1π − e ) = 0
perché µ1 = µ2
e µ1, µ2 = 0
c1 = c2 = 0
Non accettabile
µ1c1 + c2 = 0
µ1e µ1πc1 + e µ1π (1 + µ1π)c2 = 0
µ1πe µ1π λ = 0
= 0
perché µ1 = 0
c1 = 0, c2 = 0
Non accettabile
∆ < 0
αc1 + ωc2 = 0
−c1ω sin(πω) + c2α sin(πω) = 0
(α2 + ω2 λ = 0
) sin ωπ
Nullo solo
se 0 = ω ∈ Z
d c1
c1 ∈ R,c2 = 2cω
Accettabile solo
se 0 = ω ∈ Z
λ = 0 Si ha µ1 = 0, µ2 = 0 perché ∆ = 0 c1 ∈ R, c2 = 0
d = 0 Accettabile
λ = 0 Si ha µ1 = µ2 = 0 perché ∆ = 0 c1 ∈ R, c2 = 0
d = 0 Accettabile
Osserviamo che ω ∈ Z \ {0} e ∆ < 0 se e solo se 2cn = |∆| e ∆ < 0, n ∈ Z \ {0} da cui λ deve essere
della forma − d2 +4c 2 n 2
4c , con n ∈ N \ {0}
Condizioni
Quadro riassuntivo
Valori λ accettabili Soluzione relativa a λ
Do λn = − d2 + 4c 2 n 2
No
4c
d − , n ∈ N \ {0} Xn(x) = cne 2c x sin nx
λn = − d2 + 4c2n2 d − , n ∈ N \ {0} Xn(x) = cne 2c
4c
x cos nx + d
2nc sin nx .
λ = 0 X0(x) = c0