pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

31. ESERCIZI RICAPITOLATIVI - CONCLUSIONE 165
Posto an = cndn, costruiamo una soluzione elementare moltiplicando Un(t)Xn(x), si ha:
un(t, x) = ane 3−4n2
6
t cos nx.
Cerchiamo di coprire il dato iniziale sovrapponendo infinite soluzioni elementari:
∞
u(0, x) = x(π − x) = a0 + an cos nx
Pertanto si ha che i coefficienti aj, j > 1 sono i coefficienti di Fourier della funzione x(π − x) definita su [0, π],
prolungata per parità su [−π, π e per 2π-periodicità a tutto R. Il coefficiente a0 è metà del coefficiente di ordine
0.
a0 = 1
2
2 π
an = 2
π
0π π
0
x(π − x) dx = π2
6 .
n=1
π(x − x 2 ) cos nx dx = − 2(1 + (−1)n )
n2 .
Solo i coefficienti di ordine pari sono non nulli, e a2k = −1/k2 , k ∈ N \ {0}. Si ottiene quindi la soluzione
u(t, x) = π2
6 et/2 ∞ e
−
3−16k2
6 t
k2 cos(2kx) = e t/2
π2 6 −
∞ e −8k2
3 t
k2
cos(2kx) .
k=1
Il termine generale della serie è in modulo maggiorato da 1/k 2 , questo porge la convergenza totale della serie.
k=1