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CAPITOLO 1
Lezione del giorno giovedì 1 ottobre 2009 (1 ora)
Richiami sulla topologia di R
Cominciamo questa sezione richiamando alcune nozioni di topologia della retta reale viste all’interno del
precedente corso di Analisi. I nostri riferimenti sono [3, Cap. 6,10,12] e [4, Sezione II.4].
Definizione 1.1. Siano a, b ∈ R, a < b. Definiamo i seguenti insiemi:
(1) l’intervallo aperto ]a, b[:= {x ∈ R : a < x < b};
(2) l’intervallo chiuso [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b};
(3) l’intervallo ]a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b};
(4) l’intervallo [a, b[:= {x ∈ R : a ≤ x < b};
(5) l’intervallo degenere chiuso [a, a] := {a};
(6) l’intervallo degenere aperto ]a, a[:= ∅;
(7) la semiretta aperta illimitata superiormente ]a, +∞[:= {x ∈ R : x > a};
(8) la semiretta aperta illimitata inferiormente ] − ∞, a[:= {x ∈ R : x < a};
(9) la semiretta chiusa illimitata superiormente [a, +∞[:= {x ∈ R : x ≥ a};
(10) la semiretta chiusa illimitata inferiormente ] − ∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a};
(11) la retta ] − ∞, +∞[:= R;
Chiameremo intervalli aperti 1 di R gli insiemi del tipo ]a, b[, ]a, +∞[, ] − ∞, a[ e i due insiemi ∅ e R.
Definizione 1.2. Sia A ⊆ R un sottoinsieme di R. Diremo che tale sottoinsieme è aperto se si può scrivere
come unione finita o infinita di intervalli aperti. Un sottoinsieme B ⊆ R si dice chiuso se il suo complementare
R \ B è aperto. L’insieme
τ := {A ⊆ R : A è aperto di R}
prende il nome di topologia usuale di R.
Esercizio 1.3. Si provino i seguenti asserti basandosi sulle definizioni date:
(1) A è aperto se e solo se A concide con l’unione degli intervalli aperti contenuti in A;
(2) A è aperto se e solo se il suo complementare è chiuso;
(3) ogni intervallo chiuso è un chiuso di R;
(4) ∅ e R sono sia chiusi che aperti;
(5) Q non è né chiuso né aperto in R;
(6) Z è chiuso in R.
Definizione 1.4. Sia r ≥ 0, a ∈ R e definiamo i seguenti insiemi:
(1) la palla aperta di raggio r centrata in a:
(2) la palla chiusa di raggio r centrata in a:
A volte la palla aperta è indicata con B(a, r)
B(a, r[:= {x ∈ R : |x − a| < r} =]a − r, a + r[;
B(a, r] := {x ∈ R : |x − a| ≤ r} = [a − r, a + r].
Definizione 1.5. Un sottoinsieme E ⊆ R si dice limitato se esiste R > 0 tale che E ⊆ B(0, R].
Teorema 1.6. Un sottoinsieme A di R è aperto se e solo se per ogni a ∈ A esiste δa > 0 tale che B(a, δa[⊆ A
Dimostrazione. Esercizio facile.
Diamo ora un quadro delle proprietà dei sottoinsiemi aperti:
1 Si noti che talvolta gli intervalli aperti in letteratura vengono indicati con (a, b), oppure con (a, +∞). Il contesto è fondamentale
per capire se con la scrittura (a, b) si intenda l’intervallo reale ]a, b[ oppure il punto (a, b) ∈ R 2 .
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