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17. PREPARAZIONE ALLA PRIMA PROVA IN ITINERE 75
negativa, e si ha y± = ± √ t + , dove si ha che
t+ = −(2k2 − 3k) + k2 (9 − 16k)
.
2
Com’era lecito attendersi vista la simmetria di Γ le due radici sono simmetriche rispetto all’asse delle
ascisse. Restano quindi definite due funzioni implicite y = ϕ + (x) e y = ϕ − (x) corrispondenti alla
radice positiva e alla radice negativa. Tali funzioni, se derivabili, sono di classe C 1 .
Calcoliamoci massimi e minimi di y = y(m), si tratta di avere y ′ (m) = 0 da cui:
0 = (9m 2 − 1)(1 + m 2 ) 2 − 4m 2 (3m 2 − 1)(1 + m 2 )
= (1 + m 2 )((9m 2 − 1)(1 + m 2 ) − 4m 2 (3m 2 − 1))
= (1 + m 2 )(−1 + 12m 2 − 3m 4 ),
da cui si ottengono per m i quattro valori m = ± (6 ± √ 33)/3.
Pertanto i massimi e minimi di y(m) si hanno per m = ± (6 ± √ 33)/3. Sostituendo, si ottengono i
punti:
⎛
S1 = ⎝− 3
32 (1 + √ 33), − 3
32 (1 + √
6 −
33)
√ ⎞
33
⎠
3
⎛
S2 = ⎝− 3
32 (1 + √ 33), 3
32 (1 + √
6 −
33)
√ ⎞
33
⎠
3
⎛
S3 = ⎝ 3
32 (−1 + √ 33), − 3
32 (−1 + √
6 +
33)
√ ⎞
33
⎠
3
⎛
S4 = ⎝ 3
32 (−1 + √ 33), 3
32 (−1 + √
6 +
33)
√ ⎞
33
⎠
3
Si noti che per −1 < x < 0 vi è un solo punto critico per la funzione y2 . Esso deve essere un massimo
perché per x = −1 e x = 0 si ha che y = 0. Tale massimo vale ( 3
32 (1 + √ 33) 2 . Quindi per −1 < x < 0,
l’insieme è costituito da due rami simmetrici rispetto all’asse delle ascisse. Il ramo y = ϕ + (x) nel
secondo quadrante parte dal punto (−1, 0), raggiunge il massimo valore della y nel punto P2 e poi
termina nell’origine. Il ramo y = ϕ + (−) nel terzo quadrante è simmetrico. Ruotando il tutto di
±2π/3, si ottiene che l’insieme è formato da tre petali.
Calcoliamo ora i massimi e i minimi di x = x(m), si deve avere x ′ (m) = 0 da cui
0 = 6m(1 + m 2 ) 2 − 4m(3m 2 − 1)(1 + m 2 )
= 2m(1 + m 2 )(3(1 + m 2 ) − 2(3m 2 − 1)) = 2m(1 + m 2 )(5 − 3m 2 ),
da cui si ottengono i valori m = 0, m = ± 5/3. Sostituendo, si ottengono i punti:
Q1 = (−1, 0),
9
Q2 =
16 , 9√5 16 √
3
27
Q2 =
50 , − 9√5 16 √
3
In figura vengono riportate le rette parallele agli assi e passanti per i punti Si, Qj, i = 1, ..., 4, j = 1, 2, 3,
la circonferenza circoscritta a Γ e tangente ad esso nei punti P1, P2, P3 (punti di distanza massima
dall’origine), nonché le rette tangenti a Γ in tali punti.
Esercizio 17.2. Siano r, R > 0, R > r. Posto
si calcoli
D R r = {(x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0, y ≥ 0, r 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ R 2 },
lim
r→0 +
DR r
√
x2 +y2 ye
x2 dxdy
+ y2