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14. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLICITA E INVERSA - CONTINUAZIONE 61
1.5
1.0
0.5
3 2 1 1 2 3
0.5
1.0
1.5
Figura 3. La curva y 3 − xy 2 + x 2 y = x − x 3 e il suo asintoto.
punti ±( ¯m 3 − ¯m 2 + ¯m+1) −1/2 . Poniamo x + = −x − = ( ¯m 3 − ¯m 2 + ¯m+1) −1/2 . Poiché ¯m 3 − ¯m−2 = 0,
si ricava x + = −x − = (3 − ¯m 2 + 2 ¯m) −1/2 .
Vogliamo capire la posizione dei due estremali rispetto ai punti 0, 1. Poniamo W (t) = 3 − t 2 + 2t
in modo da avere x + = −x − = (W ( ¯m)) −1/2 . Sappiamo che ¯m ∈ [1, 2], quindi studiamo la funzione
W in tale intervallo. Essa è strettamente decrescente in ]1, 2[, perché W ′ (t) = −2t + 2 < 0 quindi
W (2) = 3 < W (t) < W (1) = 4, ma allora si ha 0 < 4 −1/2 < x + < 3 −1/2 < 1, e x − = −x + , pertanto
0 < x + < 1 e −1 < x − < 0. Si ha quindi che x + è massimo relativo stretto e x − è minimo relativo
stretto.
Cerchiamo gli asintoti obliqui. Limitiamo lo studio per x ≥ 0, il caso x < 0 si ricava per simmetria
rispetto all’origine. Si è visto che x = (m 3 −m 2 +m+1) −1/2 e che ϕ(V (m)) = m(m 3 −m 2 +m+1) −1/2 .
Studiamo il V (m) = m 3 − m 2 + m + 1. Si ha V ′ (m) = 3m 2 − 2m + 1 che è privo di radici reali, quindi
V ′ > 0, V è strettamente crescente e ammette una sola radice reale m ∗ . Tale radice è negativa perché
V (0) = 1. Inoltre V (−1) = −2 < 0, quindi −1 < m ∗ < 0. Poniamo A(m) = V (m)/(m − m ∗ ), A(m) è
un polinomio di secondo grado mai nullo. Si ha quindi
ϕ(x)
lim = lim
x→∞ x m→m∗+ Calcoliamo ora:
q = lim
x→∞ ϕ(x) − m∗ x
ϕ(V (m))
(m3 − m2 + m + 1) −1/2 = m(m3 − m2 + m + 1) −1/2
(m3 − m2 + m + 1)
= lim
m→m ∗ m(m3 − m 2 + m + 1) −1/2 − m ∗ (m 3 − m 2 + m + 1) −1/2
= lim
m→m ∗
= lim
m→m ∗
m − m ∗
(m3 − m2 = lim
+ m + 1) −1/2
m − m ∗
A(m)
= 0
m→m ∗
m − m ∗
(m − m ∗ ) 1/2 A(m) 1/2
−1/2 = m∗
Quindi la retta y = m ∗ x è asintoto obliquo per x → +∞. La simmetrica rispetto all’origine di tale
retta è sempre y = m ∗ x che è quindi asintoto obliquo anche per x → −∞.
Curiosità: dalla formula di risoluzione delle equazioni di terzo grado, si può ricavare il valore esatto
m ∗ = 1
2
1 − √ +
3 3 3 33 − 17 3
3 √
33 − 17 −0.54.