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F. ALTRE EQUAZIONI ORDINARIE E METODI DI RIDUZIONE 213
Definizione F.6 (Regioni invarianti). Sia φt(·) il flusso associato al sistema ˙x = f(x). Diremo che P ⊆ Rn è una regione invariante del sistema se
φt(z) ⊆ P per ogni z ∈ P . Diremo che è positivamente invariante
t∈R
o invariante in avanti se
φt(z) ⊆ P per ogni z ∈ P . Diremo che è negativamente invariante o invariante
t≥0
all’indietro se
φt(z) ⊆ P per ogni z ∈ P .
t≤0
Teorema F.7 (sull’insieme invariante). Sia Ω ⊆ R n aperto, F : Ω → R n di classe C 1 e sia D ⊆ R n aperto
di classe C 1 . Consideriamo il sistema ˙x = F (x). Supponiamo che F (x) · ˆn(x) ≤ 0 per ogni x ∈ ∂D, dove ˆn
rappresenta la normale esterna 1 a D. Allora D è regione invariante in avanti, ovvero se una traiettoria entra
in D all’istante t0, vi rimane per tutti i tempi t > t0, in particolare se parte da un punto interno rimane per
tutti i tempi successivi all’interno di D.
Dimostrazione. Diamo un’idea della dimostrazione. Consideriamo una soluzione x(t) e valutiamo la
variazione della distanza 2 della soluzione dalla frontiera di Ω. Si ha:
d
dt dist(x(t), ∂Ω) = ∇d(x(t), ∂Ω) · ˙x(t) = ∇d(x(t), ∂Ω) · F ( ˙x(t)).
Se Ω è di classe C 2 e x(t) è sufficientemente vicino a ¯x ∈ ∂Ω, si ha
d
dt dist(x(t), ∂Ω) −ˆn(¯x) · F (¯x) ≥ 0.
pertanto la traiettoria tende ad allontanarsi da ∂Ω. Si ricordi che, se l’insieme è C 2 , la normale è legata al
gradiente della distanza.
Corollario F.8. Nel caso di equazioni non autonome scalari del tipo x ′ (t) = f(t, x(t)), si pone:
˙t
1
˙y = =
=:
˙x f(t, x)
F (y),
una regione invariante in avanti per ˙y = F (y) è una regione invariante in avanti per x ′ (t) = f(t, x(t)).
Viceversa, posto
˙t
˙y =
˙x
−1
=
−f(t, x)
=: G(y),
una regione invariante in avanti per ˙y = G(y) è una regione invariante all’indietro per x ′ (t) = f(t, x(t)).
Osservazione F.9. Negli esercizi che richiedono lo studio di equazioni del tipo x ′ (t) = f(t, x(t)), con f di
classe C 1 , spesso può essere utile considerare l’insieme
Γ = {(t, x) ∈ R 2 : f(t, x) = 0}.
Sui punti di Γ si ha f(¯t, ¯x) = 0 perché tale punto appartiene a Ω, pertanto i vettori F (¯t, ¯x) e G(¯t, ¯x) del
precedente corollario si riducono a (1, 0) e (−1, 0). Supponendo che Γ sia sufficientemente regolare, 3 si ha in
molti casi che R 2 \ Γ è costituito da un numero finito di regioni connesse con bordo sufficientemente regolare per
poterne considerare la normale esterna ˆn. In un punto di bordo (¯t, ¯x). Essendo le espressioni di F e G molto
semplici, risulta quindi particolarmente facile decidere se tali regioni siano invarianti in indietro o in avanti.
1 non entriamo nei dettagli di una definizione rigorosa di normale esterna, il lettore interessato può consultare [5]
2 A priori la distanza non è differenziabile in ogni punto, nemmeno se l’insieme ha bordo molto regolare. Tuttavia è possibile
dimostrare che l’insieme dei punti di differenziabilità della funzione distanza da un generico chiuso di R n è denso in R n e che in
verità tale funzione è differenziabile quasi ovunque in un senso che verrà reso rigoroso nei successivi corsi di Analisi.
3 Per esempio C 1 a meno di un numero finito di punti.