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25. EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI LINEARI, SISTEMI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI 131
Poiché ±2i non è soluzione dell’equazione caratteristica, possiamo cercare una soluzione di ¨x − 4 ˙x − 5x =
− cos(2t) della forma ū2(t) = A cos(2t) + B sin(2t). Derivando si ottiene ū ′ 2(t) = −2A sin(2t) + 2B cos(2t) e
ū ′′
2(t) = −4A cos(2t) − 4B sin(2t). Sostituendo nell’equazione data:
−4A cos(2t) − 4B sin(2t) − 4(−2A sin(2t) + 2B cos(2t)) − 5(A cos(2t) + B sin(2t)) = − cos(2t)
da cui −9A − 8B = −1 e 8A − 9B = 0 quindi B = 8/145 e A = 9/145, quindi la seconda soluzione particolare è:
ū2(t) = 9
145
Quindi la soluzione generale dell’equazione in x è:
L’equazione in y ha soluzione
dove
ovvero
x(t) = Φ(t, c1, c2) + ū1(t) + ū2(t)
cos(2t) + 8
145 sin(2t).
= c1e 5t + c2e −t − 16
18
9
8
cos(2t) + sin(2t) + cos(2t) +
145 145 145 145 sin(2t)
= c1e 5t + c2e −t − 7
26
cos(2t) +
145 145 sin(2t).
y(t) = 1
( ˙x(t) − 3x(t) − cos 2t),
2
˙x(t) = 5c1e 5t − c2e −t + 14 52
sin(2t) +
145 145 cos(2t),
y(t) = c1e 5t − 2c2e −t − 32 36
sin(2t) −
145 145 cos(2t).
Poiché det(A) = 0, l’unica soluzione stazionaria del sistema omogeneo è l’origine. Essendo gli autovalori reali
di segni discordi, l’origine è un punto di sella.
Esercizio 25.4. Si risolva il seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine e
si discuta la stabilità delle soluzioni del sistema omogeneo associato.
˙x + 2x − y = 4t 2
˙y − 3x − 2y = 0
Svolgimento. Si ha:
2
−2 1
4t
A =
, B(t) =
3 2
0
y = ˙x + 2x − 4t
Riscrivendo il sistema dato, si ha:
2
.
˙y = 3x + 2y
Derivando la prima equazione, si ottiene ˙y = ¨x + 2 ˙x − 8t.
Sostituiamo l’espressione di ˙y ottenuta dalla seconda equazione:
3x + 2y = ¨x + 2 ˙x − 8t.
Riscrivendo tale espressione si ha ¨x + 2 ˙x − 3x − 2y − 8t = 0.
Sostituiamo l’espressione di y ottenuta dalla prima equazione:
Otteniamo quindi l’equazione nella sola variabile x:
Tale equazione si riscrive come:
¨x + 2 ˙x − 3x − 2( ˙x + 2x − 4t 2 ) − 8t = 0.
¨x + 2 ˙x − 3x − 2 ˙x − 4x + 8t 2 − 8t = 0.
¨x − 7x = −8t 2 + 8t.
L’equazione caratteristica dell’omogenea associata è quindi λ 2 −7 = 0 e le sue soluzioni λ1 = √ 7, λ2 = − √ 7 sono
gli autovalori della matrice A. Essi sono reali distinti di segno discorde. L’omogenea ha soluzione Φ(t, c1, c2) =
c1e √ 7t + c2e −√ 7t . Il termine noto è un polinomio, per trovare una soluzione particolare utilizziamo il metodo
dei coefficienti indeterminati osservando che 0 non è soluzione dell’equazione caratteristica. Cerchiamo quindi
una soluzione del tipo ū(t) = at 2 + bt + c. Sostituendo, si ottiene:
2a − 7at 2 − 7bt − 7c = −8t 2 + 8t