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CAPITOLO 15
Lezione del giorno martedì 17 novembre 2009 (1 ora)
Integrali multipli
Osservazione 15.1. Non daremo qui definizioni precise sui concetti di misurabilità elementare degli insiemi
o di integrabilità delle funzioni: esse richiedono strumenti piuttosto fini che esulano dagli scopi di queste note.
Il modello di base sarà costituito da integrali del tipo
f(x1, ..., xn) dx1 ... dxn,
D
dove D ⊆ Rn è un insieme limitato, definiti da un numero finito di disuguaglianze (strette o larghe) gi(x1, ..., xn) ≤
0, i = 1, ..., n con gi : Rn → R di classe C1 , e f : D → R è almeno continua.
Possibili generalizzazioni si hanno se D può essere decomposto in un unione finita di insiemi di tale tipo
D = D1 ∪ ... ∪ DM , in tal caso l’integrale su D sarà dato dalla somma degli integrali sugli insiemi Dj.
Se il dominio D non è limitato, oppure f non è continua su D, si considera una successione di domini limitati
Dn ⊂ D in esso contenuti (detta successione invadente) che tenda1 a D e su cui f sia continua. Integrando f
su Dn si ottiene una successione di numeri reali In. Se il limite per n → ∞ di In esiste e tale limite è lo stesso
qualunque sia la successione Dn → D scelta con le proprietà di cui sopra, allora possiamo assegnare all’integrale
di f su Dn il valore di tale limite. Il fatto che il limite non dipenda dalla successione invadente scelta è cruciale
perché questa definizione sia ben posta, ovvero sensata.
Il calcolo degli integrali multipli è ricondotto al calcolo di integrali unidimensionali dai teoremi di Fubini e
Tonelli, di cui diamo qui una versione semplificata: se f : X1 × X2 → R è continua e X1, X2 sono intervalli
compatti di R, allora
f(x1, x2) dx1 dx2 = f(x1, x2) dx2 dx1 = f(x1, x2) dx1 dx2
X1
X2
Formule analoghe valgono per integrali in dimensione superiore, e sono possibili le stesse generalizzazione viste
in precedenza (il dominio di integrazione può essere decomposto in modo opportuno, oppure invaso ...). Il
lettore interessato ad una formulazione precisa e coerente della moderna teoria della misura e dell’integrazione
secondo Lebesgue può consultare [5].
Teorema 15.2 (cambio di variabili). Siano X, Y aperti di R n , ϕ : X → Y una biiezione di classe C 1 , A
sottinsieme di X, B = γ(A), f : B → R una funzione. Allora:
(1) B è (elementarmente) misurabile se e solo se A è (elementarmente) misurabile;
(2) Se B è (elementarmente) misurabile, allora f è integrabile in B se e solo se la funzione
è integrabile in A; in tal caso risulta
f(y) dy =
B
x ↦→ f(γ(x))| det Jac(ϕ)(x)|
ove Jac(ϕ)(x) è la matrice Jacobiana di ϕ in x.
A
X2
f(ϕ(x))| det Jac(ϕ)(x)|
Corollario 15.3 (coordinate polari). Sia X = {(ρ, θ) ∈ R2 : ρ > 0, 0 < θ < 2π}. Una funzione f : R2 → R
è integrabile in R2 se e solo se la funzione (ρ, θ) ↦→ f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ è integrabile in X. In tal caso si ha:
f(x, y) dx dy = f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ dρ dθ
R 2
1 in un senso che può essere reso preciso, ma qui ci accontentiamo dell’intuizione
X
63
X1