pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

29. ESERCIZI RICAPITOLATIVI 153
Per contraddire tale affermazione , scegliamo N > Nε, M = 2N, {(xN , yN)}N∈N tali che xN, yN > 0 e
xNyN = N. Allora si ha:
M
′
N
fn(x, y, α) −
′
fn(x, y, α)
2N
N
≥ fn(xN, yN , α) − fn(xN, yN , α)
n=1
n=1
∞
≥
n=1
2N
n=N+1
2N
≥
n=1
fn(xN, yN , α) ≥
n=N+1
2N
n=N
N
n 2 + N α
N
4N 2 N(N − 1)
=
+ N α 4N 2 + N α
L’ultimo termine tende a 1/4 per α < 2 e 1/5 per α = 2, in ambedue i casi è non nullo e strettamente maggiore
di ε = 1/6 > 0. Questo implica che la successione non è uniformemente di Cauchy pertanto la serie non converge
uniformemente su R 2 se α ≤ 2.
Esercizio 29.4. Si consideri il seguente sistema in R 4 :
x 4 + 5y 2 + tan z − z − 6 sin πt = 0
x 2 − 2y 4 + cos z − z − arctan t − t = 1
Si verifichi che esso è risolto per x = y = z = t = 0, e che in un intorno di (0, 0, 0, 0) definisce due superfici in
R 3 parametrizzate da z = z(x, y) e t = t(x, y) con z(0, 0) = 0 e t(0, 0) = 0. Si calcolino ∇z(0, 0) e ∇t(0, 0).
Svolgimento. Poniamo
F (x, y, z, t) =
x 4 + 5y 2 + tan z − z − 6 sin πt
x 2 − 2y 4 + cos z − z − arctan t − t − 1
Si ha F (0, 0, 0, 0) = (0, 0). Scriviamo la matrice Jacobiana di F calcolata in (0, 0, 0, 0).
Jac(F ) =
Valutando in (0, 0, 0, 0) si ottiene:
4x 3 10y −1 + 1/ cos 2 z −6π cos(πt)
2x −8y 3 −1 − sin z −1 − 1/(1 + t 2 )
Jac(F )(0, 0, 0, 0) =
0 0 0 −6π
0 0 −1 −2
Il differenziale parziale di F relativo alle variabili (z, t) è costituito dalle ultime due colonne di tale matrice,
mentre il differenziale parziale di F relativo alle variabili (x, y) è costituito dalle prime due colonne.
0 −6π
∂z,tF (0, 0) =
, [∂z,tF (0, 0)]
0 − 1 −2
−1
1/(3π) −1
=
.
−1/(6π) 0
Allora si ha: ∇z(0, 0)
∇t(0, 0)
= −[∂z,tF (0, 0)] −1 ∂x,yF (0, 0) =
Esercizio 29.5. Si calcoli il seguente integrale:
I := arctan y dx − xy dy
γ
,
0 0
0 0
dove γ è la frontiera del triangolo T di vertici (1, 0), (0, 1), (0, −1) percorso in senso antiorario. Si calcoli inoltre
il momento di inerzia di T rispetto all’asse delle ordinate:
M := x 2 dx dy.
e
Si ha
Svolgimento. Osserviamo che
T
T = {(x, y) ∈ R 2 : −1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1 − |y|}
γ = {(t, t − 1) : t ∈ [0, 1]} ∪ {(1 − t, t) : t ∈ [0, 1]} ∪ {(−t, 0) : t ∈ [1, −1]}
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = arctan y dx − xy dy,
.
.
,