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(12) Calcolare il seguente integrale triplo:
32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI 169
T
(x 2 + y 2 ) dx dy dz,
dove T è il cono circolare retto con vertice nell’origine, per asse l’asse z e per direttrice il cerchio di
raggio r situato sul piano z = h.
(13) Calcolare il momento di inerzia di un cerchio sia rispetto ad un diametro sia rispetto al suo centro.
(14) Sia:
D := {(x, z) ∈ R 2 : x 2 + z 2 ≤ 2, x 2 + (z − 1) 2 ≥ 1, z ≥ 0}
Trovare l’area di D. Determinare la prima coordinata del baricentro di
D + := {(x, z) ∈ D : x ≥ 0}
Determinare il volume del solido S generato da D mediante una rotazione completa attorno all’asse z.
(15) Sia I = [0, 1], α ∈ R. Definiamo fα : I × I → R mediante:
0 se x = y
fα(x, y) =
se x = y
1
|x−y| α
Dire per quali α la funzione fα è integrabile su I × I. Per questi valori di α, calcolare
fα(x, y) dx dy
I×I
(16) Sia D := {(x, y) ∈ R2 : (x + y) 2 ≤ e−(x−y)2}. Calcolare:
I = e −(x−y)2
dxdy
D
(17) Calcolare l’area della porzione di superficie di equazione z = arcsin x che si proietta ortogonalmente
sul piano (x, y) nel dominio D limitato dalla curva di equazione y 2 = x 2 (1 − x 2 )
(18) Calcolare l’area di quella parte della superficie conica di equazione: x 2 + y 2 − z 2 = 0 che è contenuta
nel tetraedro x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1
Esercizio 32.6 (Stokes). Calcolare i seguenti integrali:
F · n dσ, F := (xz, xy, yz)
S
dove S := ∂{(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1};
f dσ, f(x, y, z) := (z + 1) 1 + x2 + y2 + x 3 + y 2
C
dove C := {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 = z 2 , 0 < z < 1}
Esercizio 32.7. Sia α > 0 e si consideri la funzione:
⎧
| sin(xy) − xy|
⎪⎨
f(x, y) =
⎪⎩
α
(x2 + y2 ) 3 se (x, y) = (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Determinare i valori di α per cui f è continua in (0, 0).
Svolgimento. Determiniamo l’ordine di infinitesimo di sin(xy) − xy nel modo seguente: cerchiamo β > 0
che renda finito e non nullo il limite
sin(s) − s
lim
s→0 sβ Applicando due volte la regola de l’Hopital si ha
sin(s) − s
lim
s→0 sβ cos(s) − 1
= lim
s→0 βsβ−1 = lim
s→0
− sin(s)
,
β(β − 1)sβ−2 e tale limite è finito e non nullo solo se β − 2 = 1, ovvero β = 3. In tal caso si ha:
sin(s) − s
lim
s→0 s3 = − 1
6 .