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112 22. FORME DIFFERENZIALI
b) Per C = −B si ha che ω è chiusa, quindi è esatta sul semplicemente connesso Ω. Scegliamo un punto
di Ω, ad esempio (1, 1). Un potenziale è dato da:
u(x, y) = ω,
γ (x,y)
dove γ (x,y) è un qualunque cammino in Ω congiungente (x, y) ∈ Ω al punto (1, 1) ∈ Ω (è il potenziale
tale per cui u(1, 1) = 0). Scelto per γ (x,y) il cammino formato da segmenti paralleli agli assi, si ha per
C = −B:
u(x, y) =
=
x
1
x
= 1
2
1
x
ωx(t, 1) dt +
t + B
t2 + 1 +
1
y
1
2t + 2B
t 2 + 1 +
y
1
ωy(x, s) ds
Cx + s
x2 ds
+ s2 y
1
Cx + s
x2 ds
+ s2 = 1
2 [log(t2 + 1) + 2B arctan t] t=x
t=1 +
y
1
Cx + s
x2 ds
+ s2 = 1
2 log(x2 + 1) + B arctan x − log √ 2 − Bπ
4 +
= 1
2 log(x2 + 1) − C arctan x − log √ 2 + Cπ
4 +
= 1
2 log(x2 + 1) − C arctan x − log √ 2 + Cπ
4 +
+ C
y
1
1
s
1 +
x
2
ds
x
1
+
2 [log(x2 + s 2 )] s=y
s=1
= 1
2 log(x2 + 1) − C arctan x − log √ 2 + Cπ
4 +
+ C
y/x
1/x
y
1
y
1 1
dz +
1 + z2 2 log(x2 + y 2 ) − 1
2 log(x2 + 1)
1
Cx + s
x2 ds
+ s2 Cx
x2 ds +
+ s2 y
1
s
x2 ds
+ s2 = −C arctan x − log √ 2 + Cπ
1
+ C arctan(y/x) − C arctan 1/x +
4 2 log(x2 + y 2 ).
Osserviamo che effettivamente si ha:
u(1, 1) = −C arctan 1 − log √ 2 + Cπ
1
+ C arctan(1) − C arctan(1) + log(2) = 0.
4 2
Verifichiamo il risultato ottenuto, ricordando che C = −B:
∂yu(x, y) =
C/x
1 + y2 y
+
/x2 x2 Cx + y
=
+ y2 x2 + y2 ∂xu(x, y) = − C y/x2
+ B
1 + x2 1 + y2 C
−
/x2 1 + 1/x2
− 1
x2
+
x
x2 x + By
=
+ y2 x2 + y2 c) Parametrizziamo la circonferenza con γ(t) = (cos θ, sin θ), θ ∈ [0, 2π]. Si ha:
2π
2π
ω = (cos θ + B sin θ)(− sin θ) dθ + (−B cos θ + sin θ) cos θ dθ
γ
=
0
2π
0
− sin θ cos θ − B sin 2 θ − B cos 2
θ + sin θ cos θ dθ = −2πB
d) In R 2 \ {(0, 0)} ogni circuito semplice è omotopo o ad una costante o ad una circonferenza centrata
nell’origine di raggio 1. Affinché l’integrale di ω su tutti i circuiti sia nullo, occorre e basta che sia
B = C = 0. In tal caso, si ha il potenziale ũ(x, y) = 1
2 log(x2 + y 2 ) su R 2 \ {(0, 0)}.
Esercizio 22.23. Si determini il numero reale α in modo che la forma differenziale
y
ω = 2 + dx + 1 + α
x
x
dy
y
sia esatta nel quadrante x > 0, y > 0. Si trovi il potenziale U(x, y) tale che U(1, 1) = 2.
0