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CAPITOLO 28
Lezione del giorno giovedì 21 gennaio 2010 (2 ore)
Metodo di separazione delle variabili - continuazione
Esercizio 28.1. Si determini col metodo di separazione di variabili la soluzione (sotto forma di serie)
dell’equazione del calore sul segmento [0, π], con estremità termicamente isolate:
ut − 5uxx = 0, 0 ≤ x ≤ π , t > 0 ,
ux(0, t) = ux(π, t) = 0
assumendo come dato iniziale u(x, 0) = 2x. Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta.
Svolgimento. Cerchiamo soluzioni non nulle nella forma u(t, x) = U(t)X(x). Sostituendo nell’equazione
si ottiene ˙ U(t)X(x) − 5U(t) ¨ X(x) = 0, da cui dividendo per 5U(t)X(x) si ha
Si ottengono quindi le equazioni:
˙U(t)
5U(t) = ¨ X(x)
= λ ∈ R.
X(x)
˙U(t) = 5λU(t),
¨X(x) = λX(x),
da accoppiare con le condizioni iniziali ux(0, t) = U(t) ˙ X(0) = 0 e ux(π, t) = U(t) ˙ X(π) = 0 che porgono
˙X(0) = ˙ X(π) = 0. Studiamo quindi:
¨X(x) − λX(x) = 0,
˙X(0) = ˙ X(π) = 0
L’equazione caratteristica è µ 2 − λ = 0. Distinguiamo quindi i vari casi in base al segno del discriminante
dell’equazione. Se λ > 0 abbiamo come radici µ = ± √ λ e le soluzioni dell’equazione data sono
al variare di c1, c2 ∈ R. Derivando si ottiene:
√
λ x
X(x) = c1e + c2e −√λ x
,
˙X(x) = c1
√ √ √
λ x −
λe − c2 λe √ λ x
,
Valutando la derivata in 0 e ponendola pari a zero si ottiene c1 = c2, sostituendo questo fatto e valutando la
derivata in π si ottiene che per soddisfare ˙ X(π) = 0 si deve avere c1 = c2 = 0, ma la soluzione nulla non è
accettabile.
Se λ = 0 l’equazione ha per soluzioni X(x) = c1 + c2x al variare di c1, c2 ∈ R, la cui derivata ˙ X(x) = c1. Si deve
avere quindi c2 = 0 e la soluzione risulta essere X(x) = c1. Affinché tale soluzione sia accettabile, è necessario
richiedere c1 = 0.
Se λ < 0, posto ω = |λ| l’equazione ha per soluzioni X(x) = c1 cos(ωx) + c2 sin(ωx), la cui derivata è
˙X(x) = −ωc1 sin(ωx) + ωc2 cos(ωx). Valutando tale derivata in 0 e in π e ponendola pari a zero si ricava c2 = 0
e sin(ωπ) = 0 da cui ω = |λ| ∈ Z.
Il sistema pertanto ammette soluzioni accettabili solo per λ = −n2 , con n ∈ N e detta Xn la soluzione corrispondente
a λ = −n2 , tali soluzioni sono date da Xn(x) = c1 cos (nx). Tale scrittura comprende anche il caso
n = 0.
L’equazione per U, ovvero ˙ Un(t) = −5n2Un(t) ha per soluzione Un(t) = Un(0)e−5n2t , si ha quindi al variare di
n ∈ N:
un(t, x) = Un(t)Xn(x) = ane −5n2 t cos (nx) ,
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