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Tale limite dipende da m > 0, pertanto il limite
non esiste. L’esercizio è concluso.
4. CALCOLO DI LIMITI 15
lim f(x, y)
(x,y)→0, x,y∈A
Esercizio 4.10. Sia α > 0 e si consideri la funzione:
⎧
| sin(xy) − xy|
⎪⎨
f(x, y) =
⎪⎩
α
(x2 + y2 ) 3 se (x, y) = (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Determinare i valori di α per cui f è continua in (0, 0).
Svolgimento. Determiniamo l’ordine di infinitesimo di sin(xy) − xy nel modo seguente: cerchiamo β > 0
che renda finito e non nullo il limite
sin(s) − s
lim
s→0 sβ Applicando due volte la regola de l’Hopital si ha
sin(s) − s
lim
s→0 sβ cos(s) − 1
= lim
s→0 βsβ−1 = lim
s→0
− sin(s)
,
β(β − 1)sβ−2 e tale limite è finito e non nullo solo se β − 2 = 1, ovvero β = 3. In tal caso si ha:
sin(s) − s
lim
s→0 s3 = − 1
6 .
Osserviamo a margine che i valori α ≤ 0 non risolvono il problema, infatti se α ≤ 0 si ha per (x, y) → 0
e l’ultimo termine diverge.
Sia ora α > 0:
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
| sin(xy) − xy| α
(x 2 + y 2 ) 3
| sin(xy) − xy|
|xy| 3
≥
α
1
(x 2 + y 2 ) 3
Studiamo il limite tra parentesi tonde. Si ha |xy| ≤ 1
2 (x2 + y 2 ), pertanto
Se α > 1, il termine di destra è infinitesimo e si ha:
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
0 ≤ |xy|α
x2 1
≤
+ y2 2α (x2 + y 2 ) α−1 .
|xy| α
x2 = 0, da cui lim
+ y2 ⎛
|xy| 3α
(x2 + y2 1
=
) 3 6α ⎜ |xy|
⎝ lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
α
x2 + y2 ⎟
⎠
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
f(x, y) = 0 = f(0, 0),
e dunque se α > 1 si ha che f è continua. Supponiamo ora α ≤ 1 e poniamo y = mx. Si ha
|xy| α
x2 |m|α
=
+ y2 m2 + 1
|x| 2α
,
x2 se α < 1 il limite per x → 0 è +∞, altrimenti se α = 1 è |m|/(m 2 + 1) quindi dipendente da m. In ambo i casi
si ottiene che f non è continua. Quindi f è continua se e solo se α > 1.
Per studiare il limite è possibile anche passare in coordinate polari:
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)=(0,0)
|xy| α
x2 =
+ y2 lim
ρ→0 +
x=ρ cos θ
y=ρ sin θ
|ρ2 sin θ cos θ| α
ρ 2 = lim
ρ→0 +
x=ρ cos θ
y=ρ sin θ
1
2 α ρ2α−2 | sin 2θ| α .
e il limite è nullo solo se α > 1, non esiste (dipende da θ) per α = 1, e vale addirittura +∞ per 0 < α < 1 e
θ /∈ {0, π/2, π, 3π/2}.
⎞
3