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176 32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI
(1) Si ha:
div F (x, y, z) = ∂xF1 + ∂yF2 + ∂zF3 = 1,
rot ⎛
F = det ⎝ e1 ∂x e4y e2 ∂y x − x2 ⎞
⎠ = (0, 0, 1 − 2x − 4e
e3 ∂z z
4y ).
(2) Si ha γ(0) = 1 e γ(α) = 0. Per quanto riguarda le derivate, si ha
˙γ(y) = 2y(1 − y 2 ) + y 2 (−2y) = 2y − 4y 3 = 2y(1 − 2y 2 ),
e tale derivata si annulla per y ∈ [0, α] nei punti y = 0 e y = √ 2
2 , è strettamente positiva per
0 < y < √ 2
2 e strettamente negativa per √ 2
2
< y ≤ α. La funzione ha un minimo relativo in 0, che
vale 1, un massimo assoluto in √ 2/2 che vale 5/4 e un minimo assoluto in y = α che vale 0. Si ha poi
¨γ(y) = 2 − 12y 2 , pertanto la funzione è convessa per 0 < y < 1/ √ 6 e concava per 1/ √ 6 < y < α.
(3) La superficie S può essere parametrizzata nel modo seguente:
ϕ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, ρ 2 (1 − ρ 2 ) + 1),
La matrice Jacobiana della parametrizzazione è:
⎛
cos θ ρ sin θ
Jac ϕ(ρ, θ) = ⎝ sin θ ρ cos θ
2ρ − 4ρ3 ⎞
⎠ .
0
Per la formula di Binet, l’elemento d’area è:
ω2 = det 2 B1 + det 2 B2 + det 2 B3
dove
da cui
cos θ ρ sin θ
B1 =
, det
sin θ ρ cos θ
2 B1 = ρ 2 .
cos θ ρ sin θ
B2 =
2ρ − 4ρ3
, det
0
2 B2 = ρ 2 (2ρ − 4ρ 3 ) 2 sin 2 θ,
sin θ ρ cos θ
B3 =
2ρ − 4ρ3
, det
0
2 B3 = ρ 2 (2ρ − 4ρ 3 ) 2 cos 2 θ.
ω2 = ρ 2 + ρ 2 (2ρ − 4ρ 3 ) 2 = ρ 1 + 4ρ 2 + 16ρ 6 − 16ρ 4 .
(4) Definiamo la superficie Σ = {(x, y, 0) : x2 + y2 ≤ α2 } con normale ˆn = (0, 0, −1). La superficie Σ ∪ S
racchiude un solido Ω, inoltre le normali definite su S e Σ sono uscenti rispetto a Ω. Per il teorema
della divergenza si ha:
div F dxdydz = Φ(S, F ) + Φ(Σ, F ).
Ω
Osserviamo che su Σ si ha F (x, y, 0) · (0, 0, −1) = 0, quindi
Φ(Σ,
F ) = F · ˆn dσ = 0,
inoltre:
div
Ω
F dxdydz = dxdydx = Volume(Ω).
Ω
Si ha che Ω è parametrizzato in coordinate cilindriche da:
Σ
ψ(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z),
con 0 < ρ < α e 0 < z < ρ2 (1 − ρ2 ), e quindi l’elemento di volume, ovvero il determinante Jacobiano
della parametrizzazione, è ρ. Il volume di Ω è pertanto:
2π α 2 2
ρ (1−ρ )+1
α
ρ dzdρdθ = 2π (ρ 2 (1 − ρ 2
2 α α4 α6
) + 1)ρ dρ = 2π + − .
2 4 6
0
0
0
0