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196 D. EQUAZIONI DIFFERENZIALI TOTALI In particolare, se D è un rettangolo, può essere scelta la spezzata costituita dai segmenti congiungenti P a (x0, y) e poi a (x, y) oppure congiungente P a (x, y0) e poi a (x, y). Nel primo caso si avrà: Nel secondo caso si avrà: F (x, y) = F (x, y) = x x0 x x0 M(t, y) dt + M(t, y0) dt + y y0 y y0 N(x0, s) ds. N(x, s) ds. Osservazione D.6. Se ω(x, y) è forma di classe C l , ω mai nulla, e G è integrale primo per ω = 0, di classe C l+1 su D, allora esiste λ ∈ C l (A, R) tale che sia: ∂xG(x, y) = λ(x, y)p(x, y) ∂yG(x, y) = λ(x, y)q(x, y) Viceversa se esiste λ ∈ C l (D, R) tale che λω sia esatta, ogni primitiva di λω è integrale primo per l’equazione totale ω = 0. Per completezza, diamo ora brevi cenni al caso R 3 , ad ogni modo tale argomento è facoltativo. Osservazione D.7 (Equazioni totali in R 3 ). Sia: ω(x, y, z) = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz una 1-forma differenziale in R 3 , l’equazione ω = 0 è detta equazione differenziale totale. La condizione di integrabilità per un’equazione totale in tre variabili è: P (∂zQ − ∂yR) + Q(∂xR − ∂zP ) + R(∂yP − ∂xQ) = 0 (1) se ω(x, y, z) = dF (x, y, z) è esatta, la soluzione è data da F (x, y, z) = C ∈ R. (2) se ω(x, y, z) non è esatta, può essere possibile trovare un fattore integrante λ(x, y, z) tale che λω = dF sia esatta. La soluzione è data da F (x, y, z) = C ∈ R con λ(x, y, z) = 0. (3) se non è posssibile applicare nessuno dei precedenti, trattare una delle variabili, ad es. z come una costante. Si integra l’equazione risultante indicando con φ(z) la costante di integrazione. Si prende il differenziale totale dell’integrale ottenuto e per confronto con l’equazione di partenza si determina φ(z). Coppie di Equazioni diff. totali in R 3 : Supponiamo di dover risolvere simultaneamente ω1(x, y, z) = 0 e ω2(x, y, z) = 0. La soluzione sarà data da una coppia di relazioni F1(x, y, z) = C1 ∈ R e F2(x, y, z) = C2 ∈ R. La procedura è la seguente: (1) se ω1 e ω2 sono entrambe integrabili (eventualmente tramite due fattori integranti λ1 e λ2), la soluzione è data dalle loro primitive. (2) se ω1 è integrabile ma ω2 non lo è, si integra ω1 = 0 per ottenere la relazione F1(x, y, z) = C. Usando questa relazione assieme a ω1 = 0 e ω2 = 0 si eliminano una variabile e i suoi differenziali e poi si integra l’equazione che ne risulta. Se nessuna delle due è integrabile, si procede considerando due variabili (ad es. x, y) come funzioni della terza (ad es. z). Oppure si cerca di eliminare a turno dy e dz (oppure un’altra coppia) tra le due equazioni: ω1 = P1 dx + Q1 dy + R1 dz = 0 Si ha allora: ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ ω2 = P2 dx + Q2 dy + R2 dz = 0 P1 Q1 det det e si esprima il risultato nella forma: dove si ha (per λ = 0): X = λ det Q1 R1 Q2 R2 P2 Q2 R1 P1 R2 P2 Q1 R1 dx − det dz = 0 Q2 R2 P1 Q1 dx − det dy = 0 dx X = dy Y = dz Z R1 P1 , Y = λ det R2 P2 P2 Q2 P1 Q1 , Z = λ det P2 Q2 .
D. EQUAZIONI DIFFERENZIALI TOTALI 197 Si ottengono le tre equazioni, due qualsiasi delle quali equivalenti al sistema di partenza: Y dx = X dy, Y dz = Z dy, X dz = Z dx. Se sono integrabili o se una di esse lo è si procede come visto in precedenza. Se nessuna è integrabile, allora si ha: dx dy dz = = X Y Z = l1 dx + m1 dy + n1 dz l1X + m1Y + n1Z = l2 dx + m2 dy + n2 dz l2X + m2Y + n2Z dove l1, m1, n1, l2, m2, n2 sono arbitrarie (moltiplicatori) e tali che i denominatori non si annullino. Con appropriate scelte dei moltiplicatori si possono ottenere equazioni integrabili. Se lX + mY + nY = 0, allora anche l dx + m dy + n dz = 0 e se questa relazione è integrabile, il suo integrale fornisce una delle relazioni richieste.
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Università di Verona Facoltà di S
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iv INDICE Capitolo 18. Lezione del
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CAPITOLO 1 Lezione del giorno giove
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2. ALCUNE NOZIONI DI TOPOLOGIA DI R
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10 3. LIMITI DELLE FUNZIONI IN PIÙ
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Tale limite dipende da m > 0, perta
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CAPITOLO 5 Lezione del giorno marte
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6. SUCCESSIONI E CONVERGENZA UNIFOR
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26 7. SERIE DI FUNZIONI pertanto la
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8. DIFFERENZIALI PER FUNZIONI DI PI
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CAPITOLO 9 Lezione del giorno marte
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9. MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI
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CAPITOLO 13 Lezione del giorno mart
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68 16. INTEGRALI MULTIPLI - CONTINU
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74 17. PREPARAZIONE ALLA PRIMA PROV
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84 18. INTEGRALI CURVILINEI, FORMUL
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e d’altra parte: 19. INTEGRALI CU
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20. PRIMA PROVA IN ITINERE 95 2. Vi
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25. EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUA
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Esercizio 26.2. Dato il problema di
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CAPITOLO 27 Lezione del giorno merc
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27. SERIE DI FOURIER E METODO DI SE
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