pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

210 F. ALTRE EQUAZIONI ORDINARIE E METODI DI RIDUZIONE
(5) Equazioni lineari: Si presentano in forma
y ′ + p(x)y = q(x)
con p, q funzioni continue. L’integrale generale è
y = e −
p(x) dx
q(x)e
p(x) dx
dx + c
Si rimanda alla corrispondente sezione per un’analisi più dettagliata.
(6) Equazioni di Bernoulli: Si presentano in forma
y ′ + p(x)y = q(x)y n
con p, q continue, n ∈ R, n = 0, 1. Si pone y 1−n = z ottenendo l’equazione lineare z ′ + (1 − n)p(x)z =
(1 − n)q(x). Ad ogni integrale di questa corrisponde l’integrale y(x) = [z(x)] 1
1−n dell’ equazione di
partenza. Se n > 0 vi è anche l’integrale y = 0.
(7) Abbassamento di grado per equazioni non autonome dove non compare la y: L’equazione
del secondo ordine y ′′ (t) = f(t, y ′ (t)) con f almeno continua, si riconduce ad un’equazione ordinaria
del primo ordine ponendo z(t) = y ′ (t), da cui z ′ (t) = f(t, z(t)) e y(t) = z(t) + C.
(8) Equazioni riconducibili a lineari: Supponiamo che l’equazione si presenti nella forma:
f ′ (y)y ′ + f(y)P (x) = Q(x)
In questo caso il cambiamento di variabile v = f(y) riduce l’equazione alla forma v ′ + P (x)v = Q(x).
(9) Integrali singolari per F (x, y, y ′ ) = 0. Data l’equazione in forma non normale F (x, y, y ′ ) = 0, con
F continua in A e sulla frontiera di A. Un integrale singolare di primo tipo è un integrale y = y(x) tale
che la curva di equazioni parametriche y = y(x), y ′ = y ′ (x) risulti interamente tracciata sulla frontiera
di A.
Consideriamo ora le equazioni F (x, y, y ′ ) = 0 e Fy ′(x, y, y′ ) = 0. Supponiamo di eliminare la y ′ tra le
due equazioni ottenendo ϕ(x, y) = 0 e sia y = y(x) una funzione implicitamente definita da quest’ultima
relazione. Se tale y = y(x) soddisfa contemporaneamente F (x, y, y ′ ) = 0 e Fy ′(x, y, y′ ) = 0 allora si
dirà un integrale singolare del secondo tipo.
(10) Equazioni della forma x = f(y ′ ): supponiamo che f abbia derivata prima continua. Poniamo
y ′ = p da cui dy = p dx da cui x = f(p) e dx = f ′ (p) dp, da cui dy = pf ′ (p) dp quindi l’integrale
generale in forma parametrica è: x = f(p), y = pf ′ (p) dp + c.
(11) Equazioni del tipo x = f(y, y ′ ): derivando in y pensata come indipendente e ponendo p = y ′ si
ottiene un’equazione 1
= F y, p,
p dp
.
dy
Risolvendo, si ottiene φ(y, p, C) = 0 al variare di C. Se
possibile, eliminare p tra l’equazione di partenza x = f(y, p) e la relazione φ(y, p, C) = 0, altrimenti si
esprimono separatamente x, y in funzione di p.
(12) Equazioni della forma y = f(y ′ ): supponiamo che f abbia derivata prima continua. Poniamo
y ′ = p, p = 0, si ha y = f(p) e dy = f ′ (p) dp. Quindi poichè dy = p dx, si ottiene dx = f ′ (p)
p dp da cui
l’integrale generale in forma parametrica: y = f(p), y = f ′ (p)
p dp + c.
(13) Equazioni del tipo y = f(x, y ′ ): derivando in x e ponendo p = y ′ si ottiene un’equazione p =
F (x, p, p ′ ). Risolvendo, si ottiene φ(x, p, C) = 0 al variare di C. Se possibile, eliminare p tra l’equazione
di partenza y = f(x, p) e la relazione φ(x, p, C) = 0, altrimenti si esprimono separatamente x, y in
funzione di p.
(14) Equazioni di Clairaut: si presenta nella forma
y = xy ′ + f(y ′ )
Il suo integrale generale è dato da y = cx + f(c) e da un integrale singolare che si ottiene eliminando
la y ′ tra l’equazione data e l’equazione che si ottiene da essa derivandola rispetto a y ′ .
(15) Equazioni di D’Alembert: si presenta nella forma
y = xf(y ′ ) + g(y ′ )
Se f(y ′ ) = y ′ ci si riconduce al caso precedente. Posto y ′ = p e differenziando (ricordando che
dy = p dx), si ottiene (f(p) − p) dx + xf ′ (p) dp = −g ′ (p) dp. Supposto f(p) − p = 0 e dividendo
per f(p) − p si ottiene un’equazione lineare nella funzione incognita x e nella variabile p. Detto
x = x(p, c) l’integrale generale di tale equazione, si ottiene l’integrale dell’equazione di partenza in
forma parametrica y = x(p, c)f(p) + g(p), x = x(p, c).