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CAPITOLO 29
Lezione del giorno venerdì 22 gennaio 2010 (2 ore)
Esercizi ricapitolativi
Esercizio 29.1. Si consideri l’insieme
D := {(x, y) ∈ R 2 : y ≥ |x|}
e la funzione f : R2 → R definita da:
x
f(x, y) =
2 − y4 x2 + sin 2 x + y .
Si dica se esistono i seguenti limiti e, in caso affermativo, li si calcoli:
lim f(x, y), lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈D
Svolgimento. Testiamo il limite lungo le curve (t, 0) per t → 0 ± . Si ha:
lim
t→0 ±
f(t, 0) = lim
t→0 ±
t2 t2 + sin 2 1
=
t 2 .
D’altra parte se testiamo il limite lungo le curve (0, t) per t → 0 ± si ha
lim f(0, t) = lim
t→0 ± t→0 ±
−t4 f(x, y)
= 0.
t
I limiti sono diversi, quindi il primo limite non esiste. Per quanto riguarda il secondo, osserviamo che se
(x, y) ∈ D si ha f(x, y) ≤ 0 e
−y
f(x, y) ≥
4
x2 + sin 2 ≥ −y3
x + y
quindi il secondo limite esiste e vale 0.
Esercizio 29.2. Si studino i massimi e i minimi della funzione
vincolati all’insieme ¯ B = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}.
F (x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 − (x 2 − y 2 ),
Svolgimento. Calcoliamo prima gli estremali liberi:
∂xF (x, y) = 4x x 2 + y 2 − 2x
∂yF (x, y) = 4y x 2 + y 2 + 2y.
L’unico punto critico libero è l’origine. Calcoliamo le derivate seconde:
⎧
⎪⎨ ∂xxF (x, y) = −2 + 12x
⎪⎩
2 + 4y2 ∂yyF (x, y) = 2 + 4x2 + 12y2 ∂xyF (x, y) = 8xy
La matrice hessiana ha quindi sulla diagonale principale i valori −2 e 2 e nelle altre entrate è nulla. Quindi ha
due autovalori di segno opposto, pertanto l’origine è una sella locale.
Eventuali estremali saranno quindi vincolati a ∂B = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1}. Possiamo calcolarli in vari modi:
(1) primo metodo: passiamo in coordinate polari: la circonferenza unitaria è parametrizzata da x = cos θ
e y = sin θ, sostituendo nell’espressione di F si ottiene
F (cos θ, sin θ) = 1 − (cos 2 θ − sin 2 θ) = 1 − cos 2θ = 2 sin 2 θ
I massimi sono quindi raggiunti per θ = π/2, 3π/2 e valgono 2. Tali punti corrispondono a (0, ±1).
I minimi sono raggiunti per θ = 0, π e valgono 0. Tali punti corrispondono a (±1, 0).
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