pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

18 5. ANCORA SUL CALCOLO DI LIMITI E TOPOLOGIA
delle variabili in modulo tende a +∞, la somma tende a +∞.
(12) Si verifichi il limite sui percorsi (t, 0, 0) e (t, t 2 , t 2 ), per t → ±∞. Il limite non esiste.
Esercizio 5.2. Determinare per quali valori di n ∈ N \ {0} si ha :
x|y|
lim
(x,y)→(0,0)
1/n
x2 + y2 = 0
+ |y|
Svolgimento. Il denominatore è sempre maggiore di |y| per cui in modulo la funzione è maggiorata da
|x||y| 1/n−1 . Se n = 1, il limite è nullo, altrimenti per n ≥ 2 verificando sui cammini γ(t) = (t, t 2 ) si ottengono
limiti diversi, ossia 1/2 per n = 2 e +∞ per n > 2.
Esercizio 5.3. Determinare per quali valori di α ∈ R si ha:
Svolgimento. In coordinate polari, si ha
|y|
lim
(x,y)→(0,0)
α
x e−y2 /x 2
= 0
|f(x, y)| = ρ α−1 | sin θ| α−1 | | tan θ| e − tan2 θ ≤ Mρ α−1 ,
dove M = maxt∈R{|t|e−t2}. Tale max esiste perché t ↦→ |t|e−t2 è continua e infinitesima all’infinito. Per α > 1
il limite è nullo, altrimenti non lo è (si verifichi sul cammino γ(t) = (t, t), il limite è e−1 se α = 1 e ∞ se t < 1.
Esercizio 5.4. Si cacolino interno, chiusura e frontiera dell’insieme E ⊆ R 2 definito da E := {(x, y) ∈ R 2 :
x 2 + cos(y) > 1}.
Svolgimento. Posto f(x, y) = x 2 + cos(y), si ha E = f −1 (]1, +∞[), pertanto per la continuità di f si ha
che E è aperto quindi coincide con il suo interno. La chiusura di E è data da Ē = {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) ≥ 1} e
la frontiera è data dai punti con f(x, y) = 1.
Esercizio 5.5. Sia (X, d) spazio metrico e sia {xn}n∈N successione in X convergente a x ∈ X. Si provi che
E = {xn : n ∈ N} ∪ {x} è chiuso.
Svolgimento. E ha un solo punto di accumulazione, cioé x, e lo contiene. Dunque è chiuso.
Esercizio 5.6. Sia (X, d) spazio metrico e sia E ⊆ X. Allora Ē = {x ∈ X : inf{d(x, y) : y ∈ E} = 0}.
Svolgimento. Posto dE(x) = inf{d(x, y) : y ∈ E}, supponiamo per assurdo che x ∈ Ē e dE(x) > 0. Ma
allora esiste un intorno di x interamente contenuto in X \ E pertanto x /∈ Ē. Supponiamo ora per assurdo che
dE(x) = 0 e x /∈ Ē. Ma allora esiste un intorno di x interamente contenuto in X \ E. In particolare esiste
una palla di raggio δ > 0 centrata in x non contenuta in E pertanto dE(x) ≥ δ > 0, assurdo contro l’ipotesi
dE(x) = 0.
Osservazione 5.7. (intermezzo leggero) Per mostrare efficacia e potenza della topologia, riportiamo il
seguente aneddoto tratto da Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits, di Ralph P. Boas Jr.
Il problema che ci si pone è il seguente:
“Nel deserto del Sahara ci sono leoni. Descrivere un metodo per catturarne almeno uno.”
Una delle soluzioni proposte è:
Poniamo sul deserto la topologia leonina secondo cui un insieme è chiuso se e solo se è tutto il deserto, il vuoto
oppure se non contiene leoni. L’insieme dei punti dove ci sono i leoni è denso in tutto il deserto per questa topologia.
Per densità, se mettiamo una gabbia aperta, essa contiene almeno un leone. Pertanto basta chiuderla rapidamente.
Invito i lettori a verificare la correttezza del ragionamento. Osservando che, con minime variazioni riguardanti
la natura della gabbia, potete utilizzare questo metodo per catturare anche soggetti più interessanti di un leone,
in ambienti più attraenti di un deserto, ritengo di aver fornito un buon incentivo allo studio della topologia.