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156 29. ESERCIZI RICAPITOLATIVI 3 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 3 Figura 1. Il Deltoide di Eulero, le circonferenze inscritta e circoscritta e le tangenti richieste. (5) Osserviamo che in (3, 0) non è possibile applicare il teorema di Dini, infatti si ha ∂xF (3, 0) = ∂yF (3, 0) = 0 e quindi il punto (3, 0) e i suoi ruotati di 2π/3 sono punti di cuspide (non può esservi un cappio perché è il massimo della distanza da 0). L’insieme quindi ha l’aspetto di un triangolo equilatero con i lati leggermente incurvati verso l’interno.
CAPITOLO 30 Lezione del giorno lunedì 25 gennaio 2010 (2 ore) Esercizi ricapitolativi - continuazione Esercizio 30.1. Si consideri in R 3 la superficie S di equazioni parametriche: ϕ(θ, y) = ( y 2 + 1 cos θ, y, y 2 + 1 sin θ), θ ∈ [0, 2π], |y| < 1, e il campo vettoriale F : R 3 → R 3 definito da F (x, y, z) = (x 2 , y/2, x). (1) Si calcolino divergenza e rotore di F . Si dica se il campo F è conservativo. (2) Si utilizzi il teorema di Stokes per calcolare la circuitazione di F lungo la circonferenza di raggio √ 2, centrata in (0, 1, 0) e appartenente al piano y = 1 parametrizzata da γ(θ) = ( √ 2 cos θ, 1, √ 2 sin θ), θ ∈ [0, 2π]. (3) Si scriva la matrice Jacobiana di ϕ, e quindi l’elemento di superficie 2-dimensionale relativo alla parametrizzazione ϕ. (4) Si calcoli il versore normale indotto dalla parametrizzazione nel punto (1, 0, 0). (5) Si calcoli il flusso di F attraverso la superficie S orientata secondo l’orientamento indotto dalla parametrizzazione. Svolgimento. Poniamo ϕ(θ, y) = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) e F = (F1, F2, F3). (1) Si ha div F (x, y, z) = ∂xF1 + ∂yF2 + ∂zF3 = 2x + 1/2, rot ⎛ F = det ⎝ e1 ∂x x2 ⎞ e2 ∂y y/2 ⎠ = (0, −1, 0). e3 ∂z x Poiché il rotore non è nullo, il campo non è conservativo. (2) Dal teorema di Stokes, la circuitazione è il flusso del rotore attraverso la superficie D = {(x, 1, z) : x2 + z2 ≤ 2} con normale (0, −1, 0), infatti la normale (0, −1, 0) su D induce per la regola della mano destra l’orientamento richiesto su γ. Il flusso è: rot F · ˆn dσ = dσ = Area(D) = 2π. Verifichiamo il risultato: F dγ = γ = D 2π 0 2π 0 D F ( √ 2 cos θ, 1, √ 2 sin θ) · (− √ 2 sin θ, 0, √ 2 cos θ) dθ − 2 3/2 cos 2 θ sin θ + 2 cos 2 θ dθ = 2π Quindi la circuitazione non è nulla, il che conferma come F non sia conservativo. (3) La matrice Jacobiana è ⎛ − ⎜ Jac ϕ(θ, y) = ⎜ ⎝ y2 ⎞ y cos θ + 1 sin θ √ y2 +1 ⎟ 0 1 ⎟ ⎠ y2 y sin θ + 1 cos θ . √ y 2 +1 Per la formula di Binet, l’elemento d’area è: ω2 = det 2 B1 + det 2 B2 + det 2 B3 157
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Università di Verona Facoltà di S
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iv INDICE Capitolo 18. Lezione del
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CAPITOLO 1 Lezione del giorno giove
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2. ALCUNE NOZIONI DI TOPOLOGIA DI R
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10 3. LIMITI DELLE FUNZIONI IN PIÙ
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Tale limite dipende da m > 0, perta
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CAPITOLO 5 Lezione del giorno marte
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6. SUCCESSIONI E CONVERGENZA UNIFOR
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26 7. SERIE DI FUNZIONI pertanto la
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8. DIFFERENZIALI PER FUNZIONI DI PI
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CAPITOLO 9 Lezione del giorno marte
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9. MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI
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42 10. MASSIMI E MINIMI PER FUNZION
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48 12. MASSIMI E MINIMI VINCOLATI P
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CAPITOLO 13 Lezione del giorno mart
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13. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLICIT
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56 14. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLI
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B a C. Si ha allora: I = = 1 4−
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68 16. INTEGRALI MULTIPLI - CONTINU
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74 17. PREPARAZIONE ALLA PRIMA PROV
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84 18. INTEGRALI CURVILINEI, FORMUL
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CAPITOLO 19 Lezione del giorno giov
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e d’altra parte: 19. INTEGRALI CU
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19. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA D
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CAPITOLO 20 Lezione del giorno giov
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APPENDICE I Funzioni trigonometrich
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I. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE ED IPER
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