pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

H. ESERCIZI SU EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI E SEPARAZIONE DELLE VARIABILI 221
(4) Studio dell’equazione per U: L’equazione per U è la seguente
a Ü(t) + b ˙ U(t) + (e + λ) U(t) = 0.
e+λ
−
(a) Se a = 0, b = 0 si ottiene U(t) = U(0)e b t
.
(b) Se a = 0, l’equazione è di secondo grado. Il suo polinomio caratteristico è aµ 2 + bµ + (e + λ) = 0
e il discriminante è ˜ ∆ = b 2 − 4a(e + λ).
(iii) se ˜ ∆ < 0, poniamo β = −b
2a
eβt (d1 cos θt + d2 sin θt).
√ ˜∆
, ν2 = −b+
√
˜∆
2a
(i) se ˜ ∆ > 0, poniamo ν1 = −b−
2a
e la soluzione generale dell’equazione è
Un(d1, d2, t) = d1eν1t + d2eν2x .
(ii) se ˜ ∆ = 0, poniamo ν1 = ν2 = −b
2a e la soluzione generale dell’equazione è Un(d1, d2, t) =
d1eν1t + c2teν1t .
√
| ∆| ˜
e θ = 2a e la soluzione generale dell’equazione è Un(d1, d2, t) =
(5) Costruzione delle soluzioni elementari: Si è visto come sulla base delle condizioni al contorno e
della struttura dell’equazione solo un insieme numerabile di valori di λ sia accettabile. Se λn è un valore
accettabile, si ottiene una soluzione Un(t) e una Xn(x) relative a tale valore λn. Per moltiplicazione si
ha una soluzione elementare un(t, x) = Un(t)Xn(x). Ricordando che il prodotto di costanti arbitrarie è
una costante arbitraria, si ha che se a = 0 allora un(t, x) dipende da due costanti arbitrarie, altrimenti
se a = 0 dipende da una sola costante arbitraria dn. Nel caso dipenda da due costanti arbitrarie,
siano esse d1 n, d2 n. In questo caso si hanno i due dati iniziali u(0, x) = f(x) e ut(0, x) = g(x). Tali dati
iniziali, sviluppati in serie di Fourier di soli seni (condizioni (Do)) o di soli coseni (condizioni (No))
derminano in modo univoco le soluzioni. Si ha infatti:
∞
∞
f(x) = bn sin nx = Un(0)Xn(x)
oppure
n=1
n=1
n=1
∞
∞
g(x) = dn sin nx = Un(0) ˙ Xn(x)
n=0
n=1
∞
∞
f(x) = an cos nx = Un(0)Xn(x)
n=1
n=1
∞
∞
g(x) = dn cos nx = Un(0) ˙ Xn(x)
e per confronto dei termini simili si determinano d1 n e d2 n per ogni n.
Se a = 0 viene assegnato solo il dato iniziale u(0, x) = f(x), il cui sviluppo in serie di soli seni o
soli coseni permette di determinare le costanti arbitrarie dn da cui dipendono le soluzioni elementari
un(t, x) per ogni n.
(6) Esempi: diamo ora due esempi in alcuni casi particolari:
(a) Soluzione per a = 0, b = 0, c = 0 e condizioni (Do)
L’equazione è
⎧⎪⎨
b ∂tu + c ∂xxu + d ∂xu + e u = 0 in ]0, π[×]0, +∞[,
u(t, 0) = u(t, π) = 0,
⎪⎩
u(0, x) = f(x).
n=1
4c al
variare di n ∈ N, n > 0. Costruiamo una soluzione elementare moltiplicando la soluzione generale
accettabile di X per quella di U Si ha allora, mettendo assieme tutte le costanti moltiplicative,
2 2 2 d + 4c n − 4ce
d −
un(t, x) = bn exp
t e 2c
4bc
x sin nx.
Supponiamo che a = 0, b = 0 e valgano (Do). I valori di λ accettabili sono allora λn = − d2 +4c 2 n 2
Per coprire il dato iniziale u(0, x) = f(x), si deve quindi avere:
∞
∞
u(0, x) = f(x) = un(0, x) =
n=1
n=1
d −
bne 2c x d −
sin nx = e 2c x
∞
bn sin nx
n=1