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13. TEOREMA DELLA FUNZIONE IMPLICITA E INVERSA 53
Per poter esplicitare y e z come funzioni della x, è necessario vedere se lo Jacobiano parziale fatto rispetto a
y e z, calcolato nel punto (1, −1, 2), sia o meno degenere. Tale Jacobiano parziale è la matrice formata dalla
seconda e terza colonna di Jac(F ) (che corrisponde alle derivate di f1, f2 rispetto a y e a z). Si ha
Jac(F )(1, −1, 2) =
2 −2 −4
−3 5 −3
, Jacy,z(F )(1, −1, 2) =
−2 −4
5 −3
Lo Jacobiano parziale in (1, −1, 2) è non degenere perché si ha det Jacy,z(F )(1, −1, 2) = 26 = 0. E’ possibile
pertanto applicare il teorema di Dini ed esplicitare localmente in un intorno di x = 1 la y e la z ottenendo due
funzioni y = y(x), z = z(y) con y(1) = −1 e z(1) = 2, si ponga quindi ϕ(x) = (y(x), z(x)).
Calcoliamo ora l’inversa della matrice Jacy,z(F )(1, −1, 2):
[Jacy,z(F )(1, −1, 2)] −1 = 1
26
−3 4
−5 −2
Il differenziale parziale rispetto alla x di F nel punto (1, −1, 2) è dato dalla prima colonna della matrice Jacobiana
2
di F , quindi Jacx(F )(1, −1, 2) = . Per il Teorema di Dini si ha:
−3
ϕ ′
′ y (x)
(1) =
z ′
= −[Jacy,z(F )(1, −1, 2)]
(x)
−1 Jacx(F )(1, −1, 2)
= − 1
−3 4 2
= −
26 −5 −2 −3
1
−18
26 −4
Quindi y ′ (1) = 9/13 e z ′ (1) = 2/13.
.
.