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25. EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI LINEARI, SISTEMI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI 129
Risulta quindi c ′ 1(x) = x/2, c ′ 2(x) = −1, c ′ 3(x) = 1/2x, pertanto c1(x) = x 2 /4, c2(x) = −x, c3(x) = log |x|/2.
La soluzione particolare e quella generale risultano quindi:
¯y(t) = x 2 e x /4 − x 2 e x + x 2 e x log |x|/2
Esercizio 25.2. Risolvere le seguenti equazioni:
(1) y ′ + y 1 x
=
tan x sin x .
(2) y ′ − x
1 + x 2 y = e−x y 3 .
(3) y ′ + y = x 2 y 2 .
Svolgimento.
y(t) = c1e x + c2xe x + c3x 2 e x + x 2 e x /2(log |x| − 3/2)
(1) Scriviamo l’equazione come equazione totale. Posto sin x = 0, si ha:
Tale forma è esatta, una primitiva è data da
ω(x, y) = (x − y cos x) dx − sin x dy
V (x, y) = 1
2 x2 − y sin x.
L’equazione totale ha quindi soluzione V (x, y) = c.
y(x) = x2 − 2c
2 sin x .
(2) L’equazione data è di Bernoulli, ed ammette la soluzione identicamente nulla. Per determinare le altre
soluzioni, poniamo z = y 1−3 = y −2 da cui y = 1/ √ z.
z ′ = −2y −3 y ′ = −2y −3
e −x y 3 + x
y
1 + x2 = −2e −x − z
Siamo quindi ricondotti all’equazione lineare a coefficienti variabili
z ′ + z
Scriviamo tale equazione come equazione totale:
ω(x, z) = p(x, z) dx + q(x, z) dz =
2x
1 + x 2 = −2e−x .
Moltiplicando per 1 + x 2 si ottiene 2 la forma esatta:
2x
.
1 + x2
2e −x 2x
+ z
1 + x2
+ dz = 0.
(2e −x (1 + x 2 ) + 2xz) dx + (1 + x 2 ) dz = 0.
Cerchiamo una primitiva di tale forma, a tal fine calcoliamo l’integrale di Ω su una spezzata con lati
paralleli agli assi congiungente (0, 0) al generico punto (x0, z0):
V (x0, z0) =
x0
0
2ex (1 + x2 dx +
)
z0
Pertanto le soluzioni dell’equazione in z sono della forma
ovvero
0
(1 + x 2 0) dz = 2(3 − e −x0 (3 + x0(2 + x0))) + z0(1 + x 2 0).
−2e −x (3 + x(2 + x)) + z(1 + x 2 ) = c, c ∈ R
z = c + e−x 2(3 + x(2 + x))
1 + x 2
2 Si poteva arrivare a trovare questo fattore integrante anche osservando che
∂zp(x, z) − ∂xq(x, z) = 2x 2x
= q(x, z)
1 + x2 1 + x2 Pertanto la forma ammette fattore integrante (ricordiamo che 1 + x 2 > 0)
h(x, z) = e
2x dx
1+x2 = (1 + x 2 ).