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224 I. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE ED IPERBOLICHE
P = (x, y). Consideriamo l’area della regione delimitata da tale semiretta, dall’asse x e dall’iperbole, detta
settore iperbolico. Diremo che (x, y) = (cosh θ, sinh θ) se e solo se tale area (con segno) è θ/2, nel senso
che per θ ≥ 0 stiamo considerando un settore iperbolico giacente nel primo quadrante di area θ/2, mentre
per θ < 0 stiamo considerando un settore iperbolico nel quarto quadrante di area |θ|/2. Rimangono definite
quindi due funzioni: cosh : R → [1, +∞[ (coseno iperbolico e sinh : R → R (seno iperbolico). Si può inoltre
definire tanh : R → ] − 1, 1[ (tangente iperbolica) ponendo tanh(x) = sinh(x)
cosh(x) . Analogamente, è possibile definire
coth : R \ {0} → R\] − 1, 1[ (cotangente iperbolica) ponendo coth(x) = cosh(x)
sinh(x) .
Per completezza citiamo anche le funzioni sech : R → [0, 1] (secante iperbolica) e csc : R \ {0} → R (cosecante
iperbolica) definite da sec(x) = 1
1
cosh(x) e csc(x) = sinh(x) . Si possono dare le definizioni di tutte queste funzioni
in termini di funzioni esponenziali, tali definizioni si trovano nella tabella allegata. Tali espressioni permettono
di estendere le definizioni di queste funzioni al campo complesso. A partire da tali definizioni è possibile dare
le espressioni delle funzioni iperboliche inverse:
Le derivate di queste funzioni sono date da:
arcsinh(x) = sinh −1
(x) = log x + x2
+ 1
arccosh(x) = cosh −1
(x) = log x + x2
− 1 , x ≥ 1
arctanh(x) = tanh −1 √
1 − x2 (x) = log
=
1 − x
1
2 ln
1 + x
, |x| < 1
1 − x
arcoth(x) = coth −1 √
x2 − 1
(x) = log
=
x − 1
1
2 ln
x + 1
, |x| > 1
x − 1
arcsech(x) = sech −1 √
1 ± 1 − x2 (x) = log
, 0 < x ≤ 1
x
arccsch(x) = csch −1 √
1 ± 1 + x2 (x) = log
.
x
d
sinh(x) = cosh(x)
dx
d
cosh(x) = sinh(x)
dx
d
dx tanh(x) = 1 − tanh2 (x) = sech 2 (x) = 1/ cosh 2 (x)
d
dx coth(x) = 1 − coth2 (x) = −csch 2 (x) = −1/ sinh 2 (x)
d
csch(x) = − coth(x)csch(x)
dx
d
sech(x) = − tanh(x)sech(x)
dx
d −1 1
sinh x = √
dx
x2 + 1
d −1 1
cosh x = √
dx
x2 − 1
d −1 1
tanh x =
dx
1 − x2 d −1 1
csch x = −
dx
|x| √ 1 + x2 d −1 1
sech x = −
dx
x √ 1 − x2 d −1 1
coth x =
dx
1 − x2