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114 22. FORME DIFFERENZIALI
b) Affinché ω sia esatta in Ω occorre e basta che sia chiusa, ovvero ∂yωx = ∂xωy. Posto v = (x − 1)y − 1,
si ha
∂yωx = ∂
1
ay
cos
∂y (x − 1)y − 1 ((x − 1)y − 1) 2
= ∂
1 ay
cos
∂v v v2
· ∂v
∂ 1 ay
+ cos
∂y ∂y v v2
= ay(x − 1) ∂
1 1
cos
∂v v v2
1 1
+ a cos
v v2 ∂xωy = ∂
1
1 − x
cos
∂x (x − 1)y − 1 ((x − 1)y − 1) 2
= ∂
1 1 − x
cos
∂v v v2
· ∂v
∂ 1 1 − x
+ cos
∂x ∂x v v2
= (1 − x)y ∂
1 1
cos
∂v v v2
1 1
− cos
v v2 Non è necessario procedere oltre con i calcoli: si ha immediatamente infatti a = −1.
c) Si ha, posto v(x, y) = (x − 1)y − 1:
1
−y
1
1 − x
ω = cos
dx + cos
dy
(x − 1)y − 1 ((x − 1)y − 1) 2 (x − 1)y − 1 ((x − 1)y − 1) 2
1
1
= −
· cos
(ydx + (x − 1)dy)
((x − 1)y − 1) 2 (x − 1)y − 1
= d
sin(1/v) · dv(x, y)
dv
da cui ω = df(x, y) con f(x, y) = sin(1/v(x, y)) = sin(1/((x − 1)y − 1)). Poiché f(0, 0) = sin 1, tale f
è il potenziale cercato.
Definizione 22.25. Sia data una 1-forma differenziale ω(x, y) = M(x, y) dx+N(x, y) dy dove le funzioni M,
N sono definite in un dominio semplicemente connesso D del piano R 2 e ivi continue. Chiameremo equazione
differenziale totale ogni espressione del tipo ω(x, y) = 0. Risolvere un’equazione differenziale totale significa
determinare una funzione F (x, y) e una funzione λ(x, y) tale per cui dF (x, y) = λ(x, y)ω(x, y) e λ(x, y) = 0 in
D. Una soluzione o integrale generale dell’equazione totale sarà F (x, y) = c, con c ∈ R costante arbitraria.
Definizione 22.26. L’equazione ω = 0 si dice esatta se il suo primo membro ω è una 1-forma esatta, ovvero
esiste una funzione continua F (x, y) tale che dF = ω, cioè:
∂F
(x, y) = M(x, y),
∂x
ossia (poichè D è semplicemente connesso) se:
∂M
∂y
∂N
(x, y) = (x, y).
∂x
∂F
(x, y) = N(x, y)
∂y
In tal caso λ(x, y) ≡ 1 e l’integrale generale di ω = 0 è dato sotto forma implicita dalla formula:
F (x, y) = c
con c ∈ R costante arbitraria, infatti differenziando si ha dF (x, y) = ω(x, y) = 0.
Osservazione 22.27. Grazie al Teorema della Funzione Implicita, se ω = 0 è esatta e per se in P (x0, y0) ∈ D
vale N(x0, y0) = 0, l’equazione data si può scrivere:
dy y)
= −M(x,
dx N(x, y)
in un intorno di P . Tale affermazione è resa rigorosa dalla seguente osservazione: ω ammette F come primitiva,
perché F è esatta. Inoltre vale ∂yF (x0, y0) = N(x0, y0) = 0, pertanto F definisce implicitamente in un intorno
di P (x0, y0) una funzione y = y(x) con y0 = y(x0). Poiché M, N ∈ C1 , si ha che N(x, y) = 0 in un intorno di
P (x0, y0), pertanto il teorema di Dini può essere applicato in un intorno. Si ha quindi che y = y(x) è di classe
C1 e vale
dy y)
= −M(x,
dx N(x, y) .