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196 D. EQUAZIONI DIFFERENZIALI TOTALI
In particolare, se D è un rettangolo, può essere scelta la spezzata costituita dai segmenti congiungenti P a
(x0, y) e poi a (x, y) oppure congiungente P a (x, y0) e poi a (x, y). Nel primo caso si avrà:
Nel secondo caso si avrà:
F (x, y) =
F (x, y) =
x
x0
x
x0
M(t, y) dt +
M(t, y0) dt +
y
y0
y
y0
N(x0, s) ds.
N(x, s) ds.
Osservazione D.6. Se ω(x, y) è forma di classe C l , ω mai nulla, e G è integrale primo per ω = 0, di classe
C l+1 su D, allora esiste λ ∈ C l (A, R) tale che sia:
∂xG(x, y) = λ(x, y)p(x, y)
∂yG(x, y) = λ(x, y)q(x, y)
Viceversa se esiste λ ∈ C l (D, R) tale che λω sia esatta, ogni primitiva di λω è integrale primo per l’equazione
totale ω = 0.
Per completezza, diamo ora brevi cenni al caso R 3 , ad ogni modo tale argomento è facoltativo.
Osservazione D.7 (Equazioni totali in R 3 ). Sia:
ω(x, y, z) = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz
una 1-forma differenziale in R 3 , l’equazione ω = 0 è detta equazione differenziale totale. La condizione di
integrabilità per un’equazione totale in tre variabili è:
P (∂zQ − ∂yR) + Q(∂xR − ∂zP ) + R(∂yP − ∂xQ) = 0
(1) se ω(x, y, z) = dF (x, y, z) è esatta, la soluzione è data da F (x, y, z) = C ∈ R.
(2) se ω(x, y, z) non è esatta, può essere possibile trovare un fattore integrante λ(x, y, z) tale che λω = dF
sia esatta. La soluzione è data da F (x, y, z) = C ∈ R con λ(x, y, z) = 0.
(3) se non è posssibile applicare nessuno dei precedenti, trattare una delle variabili, ad es. z come una
costante. Si integra l’equazione risultante indicando con φ(z) la costante di integrazione. Si prende
il differenziale totale dell’integrale ottenuto e per confronto con l’equazione di partenza si determina
φ(z).
Coppie di Equazioni diff. totali in R 3 : Supponiamo di dover risolvere simultaneamente ω1(x, y, z) = 0
e ω2(x, y, z) = 0. La soluzione sarà data da una coppia di relazioni F1(x, y, z) = C1 ∈ R e F2(x, y, z) = C2 ∈ R.
La procedura è la seguente:
(1) se ω1 e ω2 sono entrambe integrabili (eventualmente tramite due fattori integranti λ1 e λ2), la soluzione
è data dalle loro primitive.
(2) se ω1 è integrabile ma ω2 non lo è, si integra ω1 = 0 per ottenere la relazione F1(x, y, z) = C. Usando
questa relazione assieme a ω1 = 0 e ω2 = 0 si eliminano una variabile e i suoi differenziali e poi si
integra l’equazione che ne risulta.
Se nessuna delle due è integrabile, si procede considerando due variabili (ad es. x, y) come funzioni della terza
(ad es. z). Oppure si cerca di eliminare a turno dy e dz (oppure un’altra coppia) tra le due equazioni:
ω1 = P1 dx + Q1 dy + R1 dz = 0
Si ha allora: ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
ω2 = P2 dx + Q2 dy + R2 dz = 0
P1 Q1
det
det
e si esprima il risultato nella forma:
dove si ha (per λ = 0):
X = λ det
Q1 R1
Q2 R2
P2 Q2
R1 P1
R2 P2
Q1 R1
dx − det
dz = 0
Q2 R2
P1 Q1
dx − det
dy = 0
dx
X
= dy
Y
= dz
Z
R1 P1
, Y = λ det
R2 P2
P2 Q2
P1 Q1
, Z = λ det
P2 Q2
.