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APPENDICE I
Funzioni trigonometriche ed iperboliche
In R2 consideriamo la circonferenza γ centrata nell’origine di raggio 1, essa ha equazione x2 + y2 = 1. Si
consideri una semiretta uscente dall’origine che formi un angolo θ con la direzione positiva dell’asse delle ascisse:
essa interseca γ in un unico punto P . Chiameremo cos θ l’ascissa di P e sin θ l’ordinata di P . Sussiste
cos2 θ + sin 2 θ = 1 perché P ∈ γ. Si ha anche (x, y) = (cos θ, sin θ) se e solo se l’area del settore circolare definito
dai punti (x, y), (0, 0) e (1, 0) è θ/2.
Rimangono definite quindi due funzioni: cos : R → [−1, 1] (coseno e sin : R → [−1, 1] (seno), tali funzioni
sono periodiche di periodo 2π, ovvero cos(θ + 2π) = cos(θ) e sin(θ + 2π) = sin(θ). Si può inoltre definire
tan : R \ {π/2 + kπ : k ∈ Z} → R (tangente) ponendo tan(x) = sin(x)
cos(x) . Analogamente, è possibile definire
cot : R \ {kπ : k ∈ Z} → R (cotangente) ponendo cot(x) = cos(x)
sin(x) . Le funzioni tan e cot sono periodiche
di periodo π, ovvero tan(x + π) = tan x e cot(x + π) = cot x. Per completezza citiamo anche le funzioni
sec : R \ {kπ : k ∈ Z} → R (secante) e csc : R \ {π/2 + kπ : k ∈ Z} → R (cosecante) definite da sec(x) = 1
cos(x) e
csc(x) = 1
sin(x) . Per esse vale la relazione sec2 x + csc2 x = csc2 x · sec2 x per ogni x = kπ/2, k ∈ Z. Tutte queste
funzioni sono invertibili in alcuni intervalli del loro dominio, e danno luogo alle funzioni trigonometriche inverse:
Nome Notazione Definizione Dominio Codominio
arcoseno y = arcsin x x = sin y x ∈ [−1, 1] y ∈ [−π/2, π/2]
arcocoseno y = arccos x x = cos y x ∈ [−1, 1] y ∈ [0, π]
arcotangente y = arctan x x = tan y x ∈ R y ∈] − π/2, π/2[
arcosecante y = arc sec x x = sec y, y = arccos(1/x) |x| ≥ 1 y ∈]0, π[\{π/2}
arcocosecante y = arc csc x x = csc y, y = arcsin(1/x) |x| ≥ 1 y ∈] − π/2, π/2[\{0}
arcocotangente y = arc cot x x = cot y, y = arctan(1/x) x ∈ R y ∈]0, π[
Grazie al teorema della funzione inversa si ha:
d
sin x = cos x,
dx
d
cos x = − sin x,
dx
d
dx tan x = sec2 x = 1 + tan 2 x,
d
dx cot x = − csc2 x,
d
sec x = tan x sec x,
dx
d
csc x = − csc x cot x,
dx
d
1
arcsin x = √
dx 1 − x2 d
−1
arccos x = √
dx 1 − x2 d
1
arctan x =
dx 1 + x2 d
−1
arc cot x =
dx 1 + x2 d
arc sec x =
dx
d
arc csc x =
dx
1
|x| √ x 2 − 1
−1
|x| √ x 2 − 1
Ulteriori proprietà delle funzioni trigonometriche si trovano nella tabella allegata.
In perfetta analogia con quanto visto per le funzione trigonometriche, vogliamo costruire una nuova classe di
funzioni basate non più sulla circonferenza x 2 + y 2 = 1, bensì sull’iperbole equilatera di equazione x 1 − y 2 = 1.
Tali funzioni si chiameranno funzioni iperboliche.
In R 2 consideriamo l’iperbole equilatera Γ centrata nell’origine con vertici nei punti di raggio (±1, 0), essa ha
equazione x 2 − y 2 = 1. Consideriamo una semiretta uscente dall’origine, essa interseca γ in un unico punto
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