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20. PRIMA PROVA IN ITINERE 99
Svolgimento. La retta y = x e l’iperbole xy = 1 si incontrano nel primo quadrante solo nel punto (1, 1),
inoltre per x ∈]0, 1[ si ha 1/x > x. Il dominio D è normale rispetto all’asse x, decomponiamolo nelle due parti
D ∩ {(x, y) : 0 < x < 1} e D ∩ {(x, y) : x > 1}. Si ha:
1 x
1
1
I(α) = dx dy =
dy dx +
xα xα D
=
0
1
0
0
x 1−α dx +
+∞
1
+∞
1
dx
.
x1+α 1/x
0
1
dy dx
xα Se α ≤ 0 il secondo integrale vale +∞, mentre il primo è sempre maggiorato da 1 perché l’integranda è minore
o uguale a 1 e l’intervallo di integrazione ha lunghezza 1, quindi I(α) = +∞ se α ≤ 0.
Se α ≥ 2 il primo integrale vale +∞, mentre il secondo è finito quindi I(α) = +∞ se α ≥ 2.
Per 0 < α < 2 entrambi gli integrali sono convergenti, inoltre se 0 < α < 2 non si ha mai 1 − α = −1 oppure
1 + α = 1, e quindi
I(α) = 1 1
+
2 − α α .
Altro modo per procedere, consideriamo il dominio D normale rispetto all’asse delle y. Fissiamo y ∈ [0, 1].
Allora x varia tra y e 1/y, quindi:
Si ha allora
I(1) =
1
0
1/y
y
1
x dx
dy =
I(α) =
1
0
1
= 2 + 2 lim
y→0 +
(y log y − y) = 2 < +∞.
0
y
1
0
1/y
y
1
dx dy
xα (log(1/y) − log(y)) dy = −2
Supponiamo ora α = 1, si ha:
1
1/y
1
1
I(α) =
dx dy =
xα −α + 1
= 1
1 − α
Se α = 1 e α = 0, α = 2 si ottiene
0
1
(y α−1 − y −α+1 ) dy = 1
1 − α lim
ε→0
0
1
0
[x −α+1 ] x=1/y
x=y
1
I(α) = 1
1 − α lim
ε→0 +
1
α yα − 1
2 − α y−α+2
1 ε
Se α < 0 o α > 2 il limite risulta +∞. Inoltre:
1 1/y
I(0) =
dx dy =
Per 0 < α < 2 si ottiene invece:
I(2) = −
che conferma il risultato precedente.
0 y
1
0
1
(y − y −1 ) dy = +∞
0
ε
log(y) dy = −2[y log y − y] 1 0
y α−1 − 1
yα−1
dy
1
− y dy = +∞,
y
I(α) = 1
1 1
− =
1 − α α 2 − α
1 1
+
2 − α α ,
Osservazione 20.4. Nella seconda versione del compito, si aveva come D la regione illimitata del primo
quadrante compresa tra l’iperbole di equazione xy = 1, la retta y = x e l’asse delle y e si calcolava
D
1
dx dy.
yα Rispetto alla versione dell’esercizio precedente si è applicata una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e
terzo quadrante. Il risultato e il procedimento sono gli stessi: si scambi semplicemente x con y.