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27. SERIE DI FOURIER E METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI 139
Poiché f ∈ L2 (−π, π), essa è sviluppabile in serie di Fourier. Calcoliamo i coefficienti dello sviluppo in serie di
Fourier:
a0 = 1
π
f(t) dt =
π −π
1
0
f(t) dt +
π −π
1
π
f(t) dt = 2 − 1 = 1
π 0
ak = 1
π
f(t) cos kt dt =
π −π
1
0
f(t) cos kt dt +
π −π
1
π
f(t) cos kt dt
π 0
= 2
0
cos kt dt −
π
1
π
cos kt dt =
π
2
t=0 sin kt
−
π k
1
t=π sin kt
= 0
π k
bk = 1
π
−π
π
0
0
t=−π
π
f(t) sin kt dt =
−π
1
f(t) sin kt dt +
π −π
1
π 0
= 2
0
sin kt dt −
π −π
1
π
sin kt dt =
π 0
2
t=0 − cos kt
π k t=−π
= − 2
1
(1/k − cos(−kπ)) + (cos(kπ)/k − 1/k)
π π
= 1
3
(−2 + 2 cos(kπ) + cos(kπ) − 1) = (cos kπ − 1)
πk πk
f(t) sin kt dt
− 1
π
t=0
− cos kt
Ciò implica che bk = 0 se k è pari e bk = −6/(πk) se k è dispari.
Osservando che g(t) = f(t) − 1/2 è una funzione dispari (infatti vale 3/2 per t ∈ [−π, 0[ e −3/2 per t ∈ [0, π[)
si poteva dedurre immediatamente che ak = 0 per ogni k > 0, infatti si ha:
π
π
g(t) cos kt dt = f(t) − 1
π
cos kt dt = f(t) cos kt dt,
2
−π
dove il primo termine è nullo per disparità. Pertanto si ha
f(t) = a0
2 +
Per la formula di Parseval, si ha:
ovvero nel nostro caso:
da cui si ottiene:
∞
k=0
−π
ak cos kt + bk sin kt = 1 6
−
2 π
∞
k=0
−π
π
1
|f(t)|
2π −π
2 dt = a20 1
2
+ ak + b
4 2
2 k,
5 1 18
= +
2 4 π2 ∞
n=0
∞
n=0
1
,
(2n + 1) 2
1 π2
=
(2n + 1) 2 8 .
k
sin ((2k + 1)t)
.
2k + 1
Esercizio 27.4. Si consideri la funzione u : R → R, 2π-periodica definita da:
−t se − π ≤ t < 0,
u(t) =
π se 0 ≤ t < π.
(1) Verificare che u è sviluppabile in serie di Fourier e calcolarne i coefficienti.
(2) Studiare la convergenza puntuale della serie.
(3) Utilizzando i risultati dei punti precedenti, calcolare la somma della serie numerica:
Svolgimento.
∞
k=0
1
.
(2k + 1) 2
t=π
t=0