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178 32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI
(3) Riconoscere che la forma differenziale:
ω(x, y) =
y 2
x2x2 dx −
+ y2 y
x x2 dy
+ y2 nel dominio x > 0 è un differenziale esatto e determinare la primitiva che nel punto (1, 1) assume il
valore 0.
(4) Studiare l’integrazione della forma differenziale lineare:
ω(x, y) = y log y
− 1 dx + x log
x y
+ 1 dy
x
(5) Mostrare che la forma differenziale:
y 2 dx + 2xy dy
è esatta e verificare che l’integrale curvilineo di ω ha il medesimo valore lungo le seguenti curve
congiungenti l’origine con A = (1, 1):
(a) segmento rettilineo di equazione y = x, x ∈ [0, 1]
(b) arco di parabola di equazione y = x 2 , x ∈ [0, 1]
(c) arco di parabola di equazione y = √ x, x ∈ [0, 1]
(d) arco di curva di equazione y = 2x 3 − x, x ∈ [0, 1]
Esercizio 32.18. Si studi l’integrazione delle forme:
ω1(x, y) = yx y−1 dx + x y log x dy, ω2(x, y) =
x
y x2 dx −
+ y2 x 2
y2x2 dy
+ y2 Esercizio 32.19 (Equazioni totali). Risolvere le seguenti equazioni totali:
(1) (x2 + y2 + 2x) dx + 2y dy = 0.
(2) 3x 2 y 4 + 1
1 + x2
dx + (4x 3 y 3 + cos y) dy = 0, e determinare l’integrale particolare y(x) individuato
dalla condizione iniziale y(1) = 0.
(3) 2x
1 3x2
dx + −
y3 y2 y4
dy = 0, e determinare la curva integrale passante per il punto (2, 1).
(4) (y2 − 1) dx + xy(1 − x2 ) dy = 0.
(5) (x + 2y + 1) dx + (x + 2y + 2) dy = 0.
(6) (x + y − 1) 2 dx − 4x2 dy = 0.
(7) (1 − x2y) dx + (x2y − x3 ) dy = 0.
3x + y x + 3y
(8) √ dx − √ dy = 0.
x + y x + y
(9) (3y 2 − x) dx + 2y(y 2 − 3x) dy = 0, sugg. cercare un fattore integrante del tipo e f(x+y2 )
Esercizio 32.20 (Metodo dei coefficienti indeterminati). Risolvere le seguenti equazioni lineari a coefficienti
costanti:
(1) y ′′ − y = (2x + 1)e 3x .
(2) y ′′ − 4y ′ + 3y = e 2x .
(3) y ′′ − 6y ′ + 5y = e 5x .
(4) y ′′ − y = 2x 2 + 5 + 3e 2x .
(5) 2y ′′ − y ′ − y = x 2 − 3e x .
(6) y ′′ + 4y ′ + 5y = cos x.
(7) y ′′ + y = sin x.
(8) y ′′ + y ′ = 5 sin 3x − 2 cos 3x.
Esercizio 32.21 (Equazioni varie).
(1) Dire quante sono lo soluzioni localmente distinte del problema di Cauchy:
e disegnarne il grafico.
(2) Risolvere l’equazione:
y ′ = sgn(y) · |y|, y(0) = 0
y ′ = cos x · y − 1
(3) Risolvere l’equazione y ′ = y 2/3 e determinare le curve integrali passanti per il punto (1, 0).