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212 F. ALTRE EQUAZIONI ORDINARIE E METODI DI RIDUZIONE
(a) se g(η) > 0 per y0 < η < η2 e g(η2) = 0, se è finito l’integrale:
η2
y0
dη
= T < +∞
g(η)
allora si ha che la soluzione raggiunge il punto η2 in un tempo t2 < +∞ dato da t2 = T + t0.
(b) supponiamo g(η) > 0 per y0 < η < η2 e cerchiamo un asintoto orizzontale per t → ∞. In questo
caso se il suo valore è η2 si deve avere
η2
y0
dη
= +∞
g(η)
e quindi necessariamente η2 deve essere uno zero di g.
(c) supponiamo g(η) > 0 per y0 < η < η2 e cerchiamo un asintoto verticale. In tal caso deve esistere
T tale che in t2 = t0 + T la soluzione arrivi a +∞, quindi dovrà essere finito l’integrale
+∞
y0
dη
= T < +∞.
g(η)
Osservazione F.5. Supponiamo di avere il sistema autonomo
⎧
dy
⎪⎨
= f(x(t), y(t)),
dt
⎪⎩ dx
= g(x(t), y(t)).
dt
Sia ¯t tale per cui g(x(¯t), y(¯t)) = 0. Allora in un intorno di ¯t, la relazione x = x(t) è invertibile, e si ottiene
t = t(x) con ¯x = x(¯t), ¯t = t(¯x). Si ha x(t(x)) = x e y(t(x)) = ˜y(x) Si ha quindi, applicando il teorema della
funzione implicita in un intorno di ¯x,
d˜y dy dt
1
f(x, ˜y(x))
= · = f(x(t(x)), y(t(x))) ·
=
dx dt dx g(x(t(x)), y(t(x))) g(x, ˜y(x))
Pertanto nei punti dove g = 0, il sistema equivale all’equazione non autonoma
d˜y f(x, ˜y(x))
=
dx g(x, ˜y(x)) .
Per memorizzare tale procedimento, si può osservare che, formalmente:
e la giustificazione rigorosa è data sopra.
Viceversa, data l’equazione
introduciamo un parametro t in modo tale che
d˜y
dt
dx
dt
= d˜y f(x, y)
=
dx g(x, y) ,
d˜y f(x, ˜y(x))
=
dx g(x, ˜y(x)) ,
dt
dx =
1
g(x, ˜y(x))
se g(x, ˜y(x)) = 0 tale relazione è invertibile porgendo il sistema
⎧
dy
⎪⎨
= f(x(t), y(t))
dt
⎪⎩ dx
= g(x(t), y(t)).
dt
Nella pratica, dato un sistema autonomo o un’equazione non autonoma, l’altra formulazione può talvolta essere
più semplice per ottenere l’andamento delle soluzioni (riparametrizzate in modo opportuno).