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CAPITOLO 7
Lezione del giorno martedì 20 ottobre 2009 (1 ora)
Serie di funzioni
Definizione 7.1. Sia I =]a, b[ intervallo di R. Data una successione {fn}n∈N di funzioni fn : I → R,
consideriamo la nuova successione di funzioni {sn}n∈N definita da
n
sn(x) = fn(x).
j=0
Le funzioni {sn}n∈N sono dette somme parziali della serie di funzioni ∞ j=0 fn(x). Sia s : I → R una funzione,
∞
diremo che la serie fn(x):
j=0
(1) converge puntualmente a s o che s è limite puntuale della serie se per ogni x ∈ I si ha lim
n→∞ sn(x) =
s(x), o equivalentemente lim
n→∞ sn(x) − s(x) = 0. In altre parole, se per ogni x ∈ I fissato si ha
n
lim fn(x) = s(x)
n→∞
j=0
(2) converge uniformemente a s o che s è limite uniforme della serie se lim
n→∞ sn − s∞ = 0.
(3) converge totalmente a s se vi converge puntualmente ed esiste una successione di numeri reali {an}n∈N
tale che |fn(x)| ≤ an per ogni n ∈ N, x ∈ I e ∞
n=0 an = 0
Osservazione 7.2. Ricordiamo i seguenti fatti:
(1) La convergenza totale implica quella uniforme, la convergenza uniforme implica quella puntuale.
Nessuna delle due implicazioni opposte è vera.
(2) Data una serie di funzioni {fn}n∈N continue definite su un intervallo I chiuso e limitato di R a valori
in R, se tale serie converge totalmente ad una funzione s, allora la funzione s è continua in I.
(3) Data una serie di funzioni {fn}n∈N continue definite su un intervallo I chiuso e limitato di R a valori
in R, se tale serie converge totalmente ad una funzione s, allora
∞
s(x) dx = fn(x) dx,
I
n=0
ovvero la serie si dice integrabile termine a termine.
∞ e
Esercizio 7.3. Si consideri la serie
n=0
−nx
e si provi che converge puntualmente in ]0, +∞[ e che la
n + x
convergenza è totale in ]c, +∞[ per ogni c > 0. Si provi che la convergenza non è uniforme in ]0, +∞[.
Svolgimento. Per x < 0 fissato si ha che il termine generale diverge, infatti se n > |x|
e−nx en2
≥
n + x 2n
I
→ +∞.
Se x = 0, il termine generale diviene 1/n, quindi la serie diverge.
Sia x > 0, applicando il criterio del rapporto si ottiene:
e −(n+1)x
n + 1 + x
e −nx
n + x
−x n + x
= e
n + x + 1
25
= e−x
1
1 + 1
n+x
< 1,