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100 20. PRIMA PROVA IN ITINERE
Esercizio 20.5. Si consideri la serie di funzioni definite per (t, x) ∈ [0, 1] × [0, 2π]
∞ ( √ 5 − 3) n
n=1
2 n−1√ 5 e−4t cos(nx).
(1) Si studi la convergenza puntuale, uniforme e totale della serie.
(2) Si calcoli la somma della serie per (t, x) = (0, 0).
Svolgimento. Maggioriamo il termine generale della serie in modo appropriato. Si ha:
(
√ 5 − 3) n
2n−1√5 e−4t
cos(nx)
≤
(
√ 5 − 3) n
2n−1√ √
2
n
5 − 3
= √
=
5 5 2
2
√
5 − 3
√
5 2
Poiché |( √ 5 − 3)/2| < 1, la serie geometrica di ragione ( √ 5 − 3)/2 è convergente3 e si ha
∞
√ n 5 − 3 1
=
2
n=1
1 − √ √
5 − 3
− 1 =
5−3 5 −
2
√ 5 =
√
5 − 5
< +∞.
10
Pertanto l’estremo superiore del termine generale è in modulo maggiorato dal termine generale di una serie
convergente, quindi la serie converge totalmente e di conseguenza uniformemente e puntualmente su [0, 1] ×
[0, 2π], e la sua somma per (t, x) = (0, 0) è proprio 2
√
5 − 3
√
5 5 − √ √
2 5 − 3
= √ =
5 5 5 − 1 1 1
− √ .
5 5
Osservazione 20.6. Nella seconda versione del compito, la serie era data da
∞ ( √ 7 − 3) n
n=1
2 n−1√ 5 e−12t cos(nx).
Esattamente come prima si riconosce che |( √ 7 − 3)/2| < 1, e vale la maggiorazione
(
√ 7 − 3) n
2n−1√5 e−12t
cos(nx)
≤
(
√ 7 − 3) n
2n−1√ √
2
n
7 − 3
= √
5 5 2
Ancora come prima si ottiene
∞
√
7 − 3
2
n=1
n
=
1
1 − √ 7−3
2
√
7 − 4
− 1 = < +∞.
9
Si ha ancora convergenza totale, uniforme e puntuale e la somma per (t, x) = (0, 0) vale 2
√ 5
n
√
7 − 4
.
9
∞
3Ricordiamo che se q ∈ C, |q| < 1 si ha q
n=0
n = 1
, tuttavia nell’esercizio la somma non parte da 0 ma da 1, quindi
1 − q
1
1 − q =
∞
q
n=0
n = q 0 ∞
+ q
n=1
n ∞
= 1 + q
n=1
n ∞
da cui q
n=1
n = 1
− 1.
1 − q