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32. MISCELLANEA DI ESERCIZI SUPPLEMENTARI 175
(4) Una base dello spazio tangente è data dalle colonne della matrice Jacobiana di ϕ. In particolare,
nel punto (a, 0, 0) = ϕ(0, 0) si ha (0, a, 0) e (0, 0, a). La normale deve essere ortogonale a questi due
vettori, e avere norma uno, per cui è della forma (±1, 0, 0). Verifichiamo quale di questi due è la
normale indotta dalla parametrizzazione:
⎛
det ⎝
±1 0 0
0 0 a
0 a 0
⎞
= ⎠ = ∓a 2 .
Il determinante deve essere positivo, per cui la normale indotta nel punto (a, 0, 0) è (−1, 0, 0).
(5) Il flusso richiesto vale:
Φ(Sa, ⎛
2π F1 ◦ ϕ −
1 ⎜
F ) = det ⎜
⎝
0 −1
y2 + a2 y cos θ
sin θ √
y2 +a2 F2 ◦ ϕ 0 1
F3 ◦ ϕ y2 + a2 ⎞
⎟
⎠ dy dθ
y sin θ
cos θ √
y2 +a2 ⎛
2π (y
1 ⎜
= det ⎜
⎝
0 −1
2 + a2 ) cos2 θ − y2 + a2 ⎞
y cos θ
sin θ √
y2 +a2 ⎟
y/2 0 1 ⎟
⎠ dy dθ
y2 + 1 cos θ y2 + a2 y sin θ
cos θ √
y2 +a2 ⎛
2π 1
= (−y/2)det ⎝ −y2 + a2 ⎞
y cos θ
sin θ √
y2 +a2 ⎠ dy dθ+
y2 + a2 cos θ
=
+
0 −1
2π 1
0 −1
2π 1
0
−1
√y sin θ
y2 +a2
2 2 2 (y + a ) cos θ − y2 + a2 sin θ
(−1)det dy dθ
y2 + 1 cos θ y2 + a2 cos θ
y 2 1 2π
/2 dy dθ + (y 2 + a 2 ) 3/2 cos 3 θ + (y 2 + a 2
) sin θ cos θ dθ dy
−1
= 2
3 π.
Nell’ultimo passaggio è sfruttato il fatto che:
2π
0
cos θ sin θ dθ = 1
2
2π
0
cos 3 θ dθ =
=
=
2π
0
3π/2
−π/2
π/2
−π/2
1
−1
0
sin(2θ) dθ = 1
4
cos 3 θ dθ =
4π
0
3π/2
−π/2
(1 − sin 2 θ) cos θ dθ +
(1 − w 2 ) dw +
−1
1
sin w dw = 0.
(1 − sin 2 θ) cos θ dθ
3/2π
π/2
(1 − w 2 ) dw = 0.
(1 − sin 2 θ) cos θ dθ
Esercizio 32.16. Nel piano x = 0, si consideri la curva γ(y) = y2 (1 − y2
) + 1 per t ∈ [0, α] dove α =
(1 + √ 5)/2 e la superficie S ottenuta ruotando γ attorno all’asse z e orientata in modo che nel punto (0, 0, 1)
il versore normale sia diretto verso l’alto. Si definisca inoltre il campo vettoriale F : R 3 → R 3
F (x, y, z) = (e 4y , x − x 2 , z).
(1) Si calcolino la divergenza e il rotore di F .
(2) Si tracci il grafico di γ.
(3) Si scriva una parametrizzazione di S e si determini il relativo elemento di superficie 2-dimensionale.
(4) Si calcoli il flusso di F attraverso S.
(5) Si dica se F è conservativo. In caso negativo, si esibisca un circuito ˜γ dove la circuitazione di F sia
non nulla (sugg. si utilizzi il teorema di Stokes applicato ad un’opportuna superficie giacente nel piano
z = 0, il cui bordo sarà il circuito desiderato).
Svolgimento. Poniamo F = (F1, F2, F3).