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21. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA DI STOKES, FORMULE DI GAUSS-GREEN - CONTINUAZIONE 105
che ha la terza componente positiva. E’ necessario verificare se questa normale è concorde con l’orientamento
indotto dalla parametrizzazione:
det
⎛
⎝ n1 ∂xψ1 ∂yψ1
n2 ∂xψ2 ∂yψ2
n3 ∂xψ3 ∂yψ3
⎛ −y
⎞
√ 1 0
x2 +y2 +4
⎞ ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ −x
⎟
⎠ = det ⎜ √ 0 1 ⎟
⎜ x2 +y2 +4
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
√ 2 y/2 x/2
x2 +y2 +4
⎛
⎞
−y 1 0
1
= det ⎝ −x 0 1 ⎠ =
x2 + y2 + 4 2 y/2 x/2
2 + y2 /2 + x2 /2
x2 + y2 + 4
= 1
x2 + y2 + 4 > 0.
2
Quindi effettivamente la normale richiesta è concorde con l’orientamento della parametrizzazione. A questo
punto, posto F = (F1, F2, F3), si ha:
Φ(S,
F ) =
⎛
det ⎝
D
F1 ◦ ψ
F2 ◦ ψ
∂xψ1
∂xψ2
∂yψ1
∂yψ2
⎞
⎠ dxdy =
⎛
x
det ⎝ y
1
0
0
1
⎞
⎠ dxdy
F3 ◦ ψ ∂xψ3 ∂yψ3
D 1 y/2 x/2
2π 12
= (1 − xy) dxdy = Area(D) − xy dxdy = 12π −
r 2
cos θ sin θ ρ dρ dθ
D
= 12π −
12
0
r 3 dr ·
2π
0
D
cos θ sin θ = 12π.
Il flusso richiesto è quindi 12π.
Verifichiamo il risultato ottenuto. Sia λ ∈ R, λ < min{f(x, y) : x, y ∈ D}. Tale λ esiste finito perché f è
continua sul compatto D, quindi ammette minimo. Inoltre λ < 0. Si ha poi:
div F (x, y, z) = ∂F1
∂x
+ ∂F2
∂y
+ ∂F3
∂z
Consideriamo il solido C delimitato da S e dalla superficie ausiliaria S − := D × {λ}, la cui normale uscente da
C è (0, 0, −1). C è un cilindroide la cui base inferiore è il cerchio {(x, y, λ) : x, y, ∈ D}. La superficie laterale è:
0
= 2.
L = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 12, λ ≤ z ≤ f(x, y)}.
e la normale unitaria uscente è data da (x, y, 0)/ x2 + y2 (ovvero, a meno del segno e della normalizzazione, è
proprio il gradiente dell’equazione che definisce la superficie). Per il teorema della divergenza si ha:
div
F dxdydz = F · ˆn dσ.
ovvero:
C
∂C
2Volume(C) = Φ(S,
F ) +
f(x,y)
2
dz dxdy = Φ(S,
D λ
F ) −
si ha quindi, ricordando che Area(D) = 12π:
S −
D
F · ˆn dσ +
dσ +
L
0
L
F · ˆn dσ
x 2 + y 2
x 2 + y 2 dσ
2Volume(C) = Φ(S, F ) − Area(D) + √ 12 Area(L)
Φ(S, F ) = 12π − √ 12 Area(L) + 2Volume(C).