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8. DIFFERENZIALI PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 33
Ciò implica:
f(0, y) − f(0, 0)
=
y
sin y log(1 + y
y
2 )
y2 → 1.
Quindi ∂yf(0, 0) = 1. Calcoliamo ora la derivata lungo il vettore (1, 1):
f(t, t) − f(0, 0)
tv
Il differenziale non esiste.
(4) In coordinate polari si ha:
= 1 sin(t +
√
2
|t|) log(1 + t
t
2 )
t2 = 1 sin(t +
√
2
|t|)
t + t +
|t|
|t| log(1 + t
t
2 )
t2 → ∞.
|f(ρ cos θ, ρ sin θ)| =
arctan ρ
2
ρ → 0
quindi la funzione è continua.
parziali:
La funzione è simmetrica f(x, y) = f(y, x). Calcoliamo le derivate
lim
t→0 +
f(t, 0) − f(0, 0)
=
t
arctan t2
t2 = 1,
quindi ∂xf(0, 0) = ∂yf(0, 0) = 1. Se il differenziale L esiste, si ha L(x, y) = x + y. Verifichiamo con la
definizione:
f(x,
y) − f(0, 0) − L(x, y)
x2 + y2 =
arctan(ρ
2
)
ρ − ρ(cos θ + sin θ)
ρ
=
arctan(ρ
2 )
ρ2
− (cos θ + sin θ)
Scelto θ = π/4, si ha
f(x,
y) − f(0, 0) − L(x, y)
lim = lim
x2 + y2 ρ→0 +
arctan(ρ
2 )
ρ2 (x,y)→(0,0)
y=x
Quindi la funzione non è differenziabile in (0, 0)
Esercizio 8.18.
ρ 2
− √
2
→ √ 2 − 1 = 0.
(1) Sia f(x, y) = y2/3 (y + x2 − 1). Stabilire in quali punti esiste ∂yf e calcolarla.
(2) Sia f(x, y) = 3 x2 (y − 1) + 1. Mostrare che la funzione non è differenziabile in (0, 1) e calcolare
Dvf(0, 1) al variare del versore v.
(3) Si mostri che la seguente funzione è definita su tutto R2 e se ne discutano derivabilità direzionale e
differenziabilità:
2
x y
arctan t
f(x, y) =
dt.
t
Svolgimento.
(1) Se y = 0 si ha:
Se y = 0, allora
0
∂yf(x, y) = 2
3 3√ y (y + x2 − 1) + y 2/3
f(x, y) − f(x, 0)
∂yf(x, 0) = lim
= lim
y→0 y
y→0
y + x2 − 1
√
3 y
Tale limite esiste finito solo se x 2 −1 = 0, ossia x = ±1. In tal caso è nullo. Quindi si ha ∂yf(±1, 0) = 0.
(2) Utilizziamo coordinate polari centrate in (0, 1), ovvero x = ρ cos θ, y = ρ sin θ + 1 Si ha quindi
f(ρ cos θ, ρ sin θ + 1) = 3 ρ 3 cos θ sin θ = ρ 3√ cos θ sin θ