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140 27. SERIE DI FOURIER E METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI
(1) Si ha che la funzione u è periodica e |u(t)| è limitata su [−π, π], pertanto la funzione è sviluppabile in
serie di Fourier. Calcoliamo i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier:
a0 = 1
π
π
−π
π
f(t) dt = 1
π
0
−π
an = 1
f(t) cos(nt) dt =
π −π
1
π
= 1
t=0 −t sin(nt)
+
π n
1
nπ
t=−π
−t dt + 1
π
0
−π
0
−π
π
0
π dt = π 3π
+ π =
2 2 .
−t cos(nt) dt + 1
π
π
sin(nt) dt + 1
[sin nt]t=π t=0
n
0
π cos(nt) dt
= − 1
n2 1 − (−1)n
[cos nt]t=0 t=−π = −
π n2 .
π
bn = 1
π
f(t) sin(nt) dt =
π −π
1
0
−t sin(nt) dt +
π −π
1
π
π sin(nt) dt
π 0
= 1
t=0 t cos(nt)
−
π n
1
0
cos(nt) dt −
nπ
1
[cos nt]t=π t=0
n
t=−π
= (−1)n
n − (−1)n − 1
=
n
1
n .
La serie di Fourier risulta quindi:
f(t) = a0
2 +
∞
n=1
−π
an cos(nx) + bn sin(nx) = 3π
4 +
∞
n=1
(−1) n − 1
n 2 π
cos(nx) +
sin nx
n .
(2) La funzione u è di classe C ∞ a tratti, per cui la sua serie di Fourier converge a u nei punti di continuità
e alla media dei valori destro e sinistro di u nei punti di salto. Nel nostro caso, la funzione è continua
in ogni punto ad eccezione dei punti xk = 2kπ, k ∈ Z, dove il limite destro vale π e il limite sinistro
vale 0 (si osservi che nei punti (2k + 1)π con k ∈ Z la funzione è continua). Pertanto in 0 la serie di
Fourier di u converge a π/2, cioè si ha:
π 3π
=
2 4 −
∞ 1 − (−1) n
.
Notiamo che i termini di indice pari della sommatoria sono tutti nulli, per cui si ha:
∞ π 2 1
= ,
4 π (2n + 1) 2
pertanto la somma richiesta vale π 2 /8.
n=1
n=0
Esercizio 27.5. Si determini col metodo di separazione delle variabili la soluzione (sotto forma di serie)
dell’equazione del telegrafo sul segmento [0, π], con ambedue le estremità libere:
πn 2
utt + 2ut − uxx = 0, ux(0, t) = ux(π, t) = 0,
assumendo come dati iniziali u(x, 0) = 0 e ut(x, 0) = x. Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta.
Svolgimento. Cerchiamo soluzioni non nulle nella forma u(x, t) = U(t)X(x). Sostituendo nell’equazione
si ha:
Ü(t)X(x) + 2 ˙ U(t)X(x) − U(t) ¨ X(x) = 0
e dividendo per U(t)X(x) si ottiene:
pertanto si ha:
Ü(t) + 2 ˙ U(t)
U(t)
− ¨ X(x)
= 0,
X(x)
¨X(x) − λX(x) = 0
Ü(t) + 2 ˙ U(t) − λU(t) = 0,