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194 D. EQUAZIONI DIFFERENZIALI TOTALI
Se M, N sono omogenee di un comune grado di omogeneità α = −1, allora qualunque sia il dominio
D si ha
F (x, y) = 1
[x · M(x, y) + y · N(x, y)].
α + 1
Definizione D.2. Data nel dominio A l’equazione ω = 0, un fattore integrante è una funzione g : A → R
di classe C 1 mai nulla tale che gω sia chiusa. L’equazione ω = 0 risulta allora equivalente a gω = 0 che su un
semplicemente connesso è un’equazione esatta. Si può scegliere g > 0 quindi g = e f con f : A → R. Se
ω = p(x, y) dx + q(x, y) dy
allora condizione necessaria e sufficiente affinchè e f ω sia chiusa è:
∂yp − ∂xq = −p∂yf + q∂xf
Definizione D.3. Casi particolari di fattore integrante:
(1) se ∂yp − ∂xq = h(x)q si ha il fattore integrante e h(x) dx , in modo equivalente se ∂yp(x, y) − ∂xq(x, y)
q(x, y)
è una funzione della sola x, allora si ha il fattore integrante e h(x) dx dove
h(x) = ∂yp(x, y) − ∂xq(x, y)
;
q(x, y)
(2) se ∂yp−∂xq = k(y)p si ha il fattore integrante e − k(y) dy , in modo equivalente se ∂yp(x, y) − ∂xq(x, y)
−p(x, y)
è una funzione della sola y, allora si ha il fattore integrante e k(y) dy dove
(3) Supponiamo
con f, q, p di classe C 1 . Allora:
è fattore integrante per ω.
(4) L’equazione differenziale totale:
k(y) = ∂yp(x, y) − ∂xq(x, y)
;
−p(x, y)
∂yp − ∂xq = f(x)q(x, y) − g(y)p(x, y)
h(x, y) = exp
x
x0
f(t)dt +
y
y0
g(t)dt
x r y s (my dx + nx dy) + x ρ y σ (µy dx + νx dy) = 0
con r, s, ρ, σ, m, n, µ, ν costanti tali che mν − nµ = 0 ammette fattore integrante x α y β per α, β
opportuni.
(5) L’equazione differenziale totale:
con f = g, ammette fattore integrante
(6) L’equazione differenziale totale:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = yf(xy) dx + xg(xy) dy = 0
1
Mx − Ny .
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
con M, N omogenee dello stesso ordine e Mx + Ny = 0, ammette fattore integrante
1
Mx + Ny .
A volte la forma del fattore integrante è suggerita dalla presenza di alcuni termini nella forma particolare dell’equazione.