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I. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE ED IPERBOLICHE 225
L’utilità dell’introduzione delle funzioni iperboliche è particolarmente evidente nel calcolo di alcune primitive:
sinh ax dx = 1
cosh ax + C
a
cosh ax dx = 1
sinh ax + C
a
tanh ax dx = 1
ln(cosh ax) + C
a
coth ax dx = 1
ln(sinh ax) + C
a
du
√
a2 + u2 = sinh−1 u
+ C
a
du
√
u2 − a2 = cosh−1 u
+ C
a
du
a2 1
=
− u2 a tanh−1 u
+ C; u
a
2 < a 2
du
a2 1
=
− u2 a coth−1 u
+ C; u
a
2 > a 2
du
u √ a2 1
= −
− u2 a sech−1 u
+ C
a
du
u √ a2 1
= −
+ u2 a csch−1
u
+ C
a
dx
π
√ = arcsin(x) + c = −arccos(x) + + c
1 − x2 2
dx
√ = arcsinh(x) + c = ln(x +
x2 + 1 x2 + 1) + c
dx
√ x 2 − 1 = arccosh(x) + c = ln(x + x 2 − 1) + c
1 arcsin(x) + x
− x2 dx = √ 1 − x2 + c
2
x arcsinh(x) + x 2 + 1 dx = √ x2 + 1
+ c =
2
ln(x + √ x2 + 1) + x √ x2 + 1
+ c
2
x −arccosh(x) + x 2 − 1 dx = √ x2 − 1
+ c =
2
− ln(x + √ x2 − 1) + x √ x2 − 1
+ c
2
dx
= arctan(x) + c
1 + x2 dx
1
= arctanh(x) + c =
1 − x2 2 ln
1 + x
+ c
1 − x