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96 20. PRIMA PROVA IN ITINERE
Questo concludeva lo studio qualitativo richiesto dall’esercizio.
Con ulteriori calcoli, un po’ lunghi ma non particolarmente complicati, si può essere ancora più precisi
ed arrivare a tracciare un grafico più dettagliato.
Ribadiamo che comunque, questa parte, esulava dalle richieste dell’esercizio, la riportiamo solo per
completezza.
Consideriamo una retta x = k, e studiamo il numero di soluzioni y dell’equazione f(k, y) = 0. Si ha
0 = f(k, y) = (k 2 + y 2 − 2k) 2 − (k 2 + y 2 )
= y 4 + (2k 2 − 4k − 1)y 2 + (k 2 − 2k) 2 − k 2
= y 4 + (2k 2 − 4k − 1)y 2 + k 2 (k − 3)(k − 1)
Posto t = y 2 , cerchiamo soluzioni non negative di pk(t) = t 2 + (2k 2 − 4k − 1)t + k 2 (k − 3)(k − 1) = 0.
Si ha limt→±∞ pk(t) = +∞ e pk(0) = k 2 (k − 3)(k − 1). Si ha pk(0) > 0 per k < 1 o k > 3.
(a) se 1 < k < 3 l’equazione pk(t) = 0 ammette due soluzioni distinte t − e t + di segno discorde perché
pk(0) < 0 e limt→±∞ pk(t) = +∞. Sia t + > 0, allora si ottiene y1 = √ t + e y2 = − √ t − . Dato
1 < x < 3 esistono quindi ϕ1(x) e ϕ4(x), distinti, ϕ1(x) < 0 < ϕ4(x) tali che (x, y) ∈ Γ se e solo
se y ∈ {ϕ1(x), ϕ4(x)}.
(b) se k < 1 o k > 3 ma k = 0, allora pk(0) > 0, quindi le soluzioni reali di pk(y) = 0, se esistono, sono
entrambe strettamente positive o entrambe strettamente negative: se l’ascissa del vertice delle
parabola z = pk(t) è positiva, allora se esistono sono entrambe strettamente positive, altrimenti o
non esistono oppure sono entrambe strettamente negative. Le radici negative non sono accettabili.
Tale ascissa è zk = −(2k2 − 4k − 1)/2. Si ha zk > 0 per 1
√ √
1
2 2 − 6 < k < 2 2 + 6 . Poiché
1
2 −
2
√
6 < 0 < 1 < 1
2 +
2
√
6 < 3,
si
ottiene
√
che se pk(y) = 0 ammette radici reali, esse sono due radici strettamente positive per
2 − 6 < k < 0 e per 0 < k < 1.Il discriminante di pk(t) = 0 è
1
2
∆ = (2k 2 − 4k − 1) 2 − 4k 2 (k − 3)(k − 1) = 1 + 8k.
Per 0 < k < 1 e −1/8 < k < 0 tale discriminante è positivo, quindi si hanno due soluzioni
strettamente positive. Pertanto per k ∈]0, 1[∪] − 1/8, 0[ , la retta x = k interseca Γ in quattro
punti distinti, due a due simmetrici rispetto all’asse delle ascisse. Dato 1
2 (2−√6) < x < 1 esistono
quindi ϕ1(x), ϕ2(x), ϕ3(x), ϕ4(x), distinti, ϕ1(x) < ϕ2(x) < 0 < ϕ3(x) < ϕ4(x) tali che (x, y) ∈ Γ
se e solo se y ∈ {ϕi(x) : i = 1, 2, 3, 4}.
(c) per k = 0, si hanno le intersezioni con l’asse y, quindi O = (0, 0), P1 = (0, 1), P2 = 0. Poniamo
ϕ1(0) = −1, ϕ4(0) = 1 e ϕ3(0) = ϕ2(0) = 0.
df(x, y) = (4(x 2 + y 2 − 2x)(x − 1) − 2x) dx + (4(x 2 + y 2 − 2x)y − 2y) dy
Si ha
(i) df(0, 0) = 0, quindi in un intorno di (0, 0) non è possibile applicare il Teorema di Dini.
(ii) df(0, 1) = −4 dx + 2 dy quindi in un intorno di (0, 1) è possibile applicare il Teorema di
Dini. In un intorno di tale punto ϕ4 è di classe C 1 e ϕ4(0) = 1/2 > 0
(iii) df(0, −1) = −4 dx − 2 dy quindi in un intorno di (0, −1) è possibile applicare il Teorema di
Dini. In un intorno di tale punto ϕ1 è di classe C 1 e ϕ1(0) = −1/2 < 0
(d) per k = 1, si ha p1(y) = y 2 (y 2 − 3) da cui si ottengono le intersezioni (1, 0), (1, √ 3) e (1, − √ 3).
Poniamo ϕ3(0) = ϕ2(0) = 0, ϕ1(0) = −1, ϕ4(0) = 1.
(e) per k = 3, si ha p3(y) = y 2 (y 2 + 11) da cui si ottiene la sola intersezione (3, 0). Poniamo
ϕ1(3) = ϕ4(3) = 0
(f) per k = −1/8 si ha p −1/8(y) = −(1/64) − y 2 + (17/64 + y 2 ) 2 da cui si ottengono le due intersezioni
(−1/8, − √ 15/8) e (−1/8, + √ 15/8). Poniamo ϕ4(−1/8) = ϕ3(−1/8) = (−1/8, + √ 15/8) e
ϕ1(−1/8) = ϕ2(−1/8) = (−1/8, − √ 15/8)
Le quattro funzioni ϕi, i = 1, 2, 3, 4 sono due a due simmetriche rispetto all’asse delle ascisse. Inoltre
la tangente a Γ nei punti (x, y) con x = 0, 1, 3 non è mai verticale. Per il teorema di Dini, queste
funzioni sono quindi C 1 negli intervalli aperti che non contengano x = 0, 1, 3 e in cui siano definite.
Per quanto visto al punto precedente, si ha che ϕ1 e ϕ4 sono C 1 all’interno di tutto il loro dominio.
Studiamo ora i massimi e minimi relativi di y = ρ sin θ vincolati a Γ, ovvero i massimi e minimi
delle funzioni g1(θ) = 2 sin θ cos θ + sin θ = sin 2θ + sin θ con θ ∈ [0, 2π/3] ∪ [4π/3, 2π] e la funzione