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E. RICHIAMI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 203
(a.) Soluzione dell’omogenea: per determinare la risolvente è necessario trovare soluzioni dell’equazione
omogenea ˙z = Az. Per risolvere tale equazione, cerchiamo una base opportuna in cui il sistema sia
disaccoppiato, un sistema di riferimento in cui l’operatore lineare, associato alla matrice A nella base
canonica, in questo nuovo sistema di riferimento abbia matrice diagonale o almeno triangolare. Il
sistema di riferimento cercato è quello costituito dagli autovettori di A, ovvero da quei vettori u ∈ R 2
non nulli tali per cui Au = λu per qualche λ ∈ C, detto autovalore associato a u. Per trovare gli
autovalori si risolve l’equazione det(λid R 2 − A) = 0. In questo caso si ottiene:
λ − 5 −3
0 = det
−2 λ − 3
= (λ − 5)(λ − 3) − 6 = λ 2 − 8λ + 9 = 0,
ovvero λ1 = 4 + √ 7 e λ2 = 4 − √ 7. Per determinare gli autovettori dobbiamo trovare due vettori
u1, u2 tali per cui
(λiid R 2 − A)ui =
λi − 5 −3
−2 λi − 3
ui = 0, i = 1, 2.
Per definizione di autovalore, le due righe di questa matrice sono dipendenti, pertanto è sufficiente
risolvere:
−2u x 1 + (1 + √ 7)u y
1 = 0, −2ux2 + (1 − √ 7)u y
2 = 0
avendo posto ui = (ux i , uy i ) e cercando soluzioni non nulle. Possiamo quindi scegliere u1 = (1 + √ 7, 2),
u2 = (1 − √ 7, 2). Indichiamo con P la matrice che ha per colonne i vettori u1 e u2:
P =
1 + √ 7 1 − √ 7
2 2
√ √ √
1/(2 7) (−1 + 7)/(4 7)
, P =
−1/(2 √ 7) (1 + √ 7)/(4 √ 7)
si ha det P = 4 √ 7 = 0. E’ noto dalla teoria che P −1 AP è la matrice diagonale avente sulla diagonale
principale gli autovalori. Posto w = P −1 z, si ha ˙w = P −1 ˙z = P −1 AP w, da cui:
˙w1
˙w2
=
4 + √ 7 0
0 4 − √ 7
w1
quindi ˙wi = λiwi, perciò wi(t) = Cie λit , i = 1, 2. Applicando la trasformazione inversa z = P w, si
ottiene:
z(t) =
z1(t)
z2(t)
=
1 + √ 7 1 − √ 7
2 2
C1e λ1t
C2e λ2t
w2
,
= C1e λ1t
u1 + C2e λ2t
u2.
Data una condizione iniziale z0, si ottiene z0 = C1u1+C2u2, ovvero le costanti C1, C2 sono le coordinate
di z0 rispetto al sistema di riferimento degli autovettori. Quindi:
Poniamo:
T (t) =
C1
C2
e λ1t 0
0 e λ2t
= P −1 z0, z0 = P
C1
C2
, T −1
−λ1τ e 0
(τ) =
0 e−λ2τ
.
= T (−τ).
Osseviamo anche che T (t)T −1 (τ) = T (t − τ). Perciò per ogni z0 ∈ R 2 la mappa: z(t) = P T (t)P −1 z0
è la soluzione di ˙z = Az con z(0) = z0.
(b.) Determinazione della risolvente: dal punto precedente si è ricavata una formula per la risoluzione
dell’omogenea a partire da qualunque dato iniziale. Per definizione si ha che la risolvente è Φ(t) =
P T (t)P −1 , Φ −1 (τ) = P T −1 (τ)P −1 e si ha R(t, τ) = Φ(t)Φ −1 (τ) = P T (t)T −1 (τ)P −1 = P T (t−τ)P −1 .
,