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Analogamente se vale M(x0, y0) = 0, l’equazione data si può scrivere:
in un intorno di P .
22. FORME DIFFERENZIALI 115
dx
dy
= − N(x, y)
M(x, y)
Definizione 22.28. Se ω = 0 è esatta, sia γ una qualunque curva C1 a tratti congiungente P (x0, y0) ad un
generico punto (x, y) ∈ D:
F (x, y) = ω
In particolare, se D è un rettangolo, può essere scelta la spezzata costituita dai segmenti congiungenti P a
(x0, y) e poi a (x, y) oppure congiungente P a (x, y0) e poi a (x, y). Nel primo caso si avrà:
Nel secondo caso si avrà:
F (x, y) =
F (x, y) =
x
x0
x
x0
γ
M(t, y) dt +
M(t, y0) dt +
y
y0
y
y0
N(x0, s) ds.
N(x, s) ds
Ricordiamo che se le funzioni M e N sono omogenee in D di un comune grado di omogenerità α = −1, allora
qualunque sia il dominio D si ha
F (x, y) = 1
[x · M(x, y) + y · N(x, y)]
α + 1
Definizione 22.29. In generale, se D è un aperto di R n , ω una 1-forma di classe C 1 su A, un fattore
integrante per ω è ogni λ ∈ C 1 (A, R) mai nulla tale che la forma λω sia chiusa in D. Se ω(x, y) è forma di classe
C l , ω mai nulla, e G è integrale primo per ω = 0, di classe C l+1 su D, allora esiste λ ∈ C l (A, R) tale che sia:
∂xG(x, y) = λ(x, y)p(x, y)
∂yG(x, y) = λ(x, y)q(x, y)
Viceversa se esiste λ ∈ C l (D, R) tale che λω sia esatta, ogni primitiva di λω è integrale primo per l’equazione
totale ω = 0.
Una formula per trovare un fattore integrante è data dal seguente fatto: sia data l’equazione differenziale totale
ω(x, y) = p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0. Supponiamo
con f, q, p di classe C 1 . Allora:
∂yp − ∂xq = f(x)q(x, y) − g(y)p(x, y)
x
h(x, y) = exp
x0
f(t)dt +
y
y0
g(t)dt
è fattore integrante per ω. Particolarmente significativi sono i casi in cui f ≡ 0 oppure g ≡ 0.
Esercizio 22.30. Risolvere le seguenti equazioni totali:
(1) 2xy dx + (x 2 + 1) dy = 0;
(2) (x 2 + y 2 − 2x) dx + 2xy dy = 0;
(3) y 2 dx + (xy − 1) dy = 0.
Svolgimento.
(1) la forma è evidentemente chiusa su R2 . Determiniamo un potenziale integrando tale forma su una
spezzata γ che congiunga (0, 0) ad un generico punto (x0, y0) con segmenti paralleli agli assi, γ = γ1∪γ2
dove γ1(x) = (x, 0) per 0 ≤ x ≤ x0 (oppure x0 ≤ x ≤ 0) e γ2(y) = (x0, y) per 0 < y < y0 (oppure
y0 ≤ y ≤ 0). Si ha ˙γ1(x) = (1, 0) e ˙γ2(x) = (0, 1):
V (x0, y0) = ω = (2xy dx + (x 2
+ 1) dy) + (2xy dx + (x 2 + 1) dy)
=
γ
γ2
γ1
(2xy dx + (x 2 + 1) dy) =
y0
0
γ2
(x 2 0 + 1) dy = (x 2 0 + 1)y0.