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(2) Si ha
29. ESERCIZI RICAPITOLATIVI 155
F (ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ 4 (sin 4 (θ) + cos 4 (θ) + 2 sin 2 (θ) cos 2 (θ))+
+ ρ 3 (−8 cos 3 (θ) + 24 sin 2 (θ) cos(θ)) + 18ρ 2 − 27
= ρ 4 (sin 2 (θ) + cos 2 (θ)) 2 − 8ρ 3 cos θ(cos 2 (θ) − 3 sin 2 (θ)) + 18ρ 2 − 27
= ρ 4 − 8ρ 3 cos(3θ) + 18ρ 2 − 27
Come funzione di θ, si ha che questa espressione è 2π/3 periodica, quindi l’insieme è invariante per
rotazioni di 2π/3 attorno all’origine. Poiché (0, 0) /∈ Γ, possiamo scrivere:
f(ρ) := ρ4 + 18ρ 2 − 27
8ρ 3
= cos(3θ)
Questa scrittura implica già che Γ è compatto: se così non fosse, esisterebbe una sequenza di punti
di Γ rappresentati in coordinate polari da (ρn, θn) tale per cui ρn → +∞. Sostituendo nella relazione
precedente e passando al lim sup,
si ottiene che il membro di destra vale +∞, mentre il secondo rimane
n→∞
limitato.
(3) I punti considerati si ottengono uno dall’altro per rotazione di 2π/3, questo già porge il fatto che le
tangenti costituiranno un triangolo equilatero. Si ha ∂yF (0, −1) = 0 e ∂xF (0, −1) = 0, quindi la
tangente in (0, −1) è verticale ed è data da x = −1. In questo punto non si può applicare il Teorema
di Dini. Ruotando l’equazione della tangente α = ±2π/3 attorno all’origine, si ottengono le tangenti
negli altri due punti ovvero
− 1
√
3
x ± y = −1
2 2
I coefficienti angolari delle tangenti sono quindi √ 3 per il punto P3 e − √ 3 per il punto P2.
(4) Studiamo brevemente la funzione f(ρ). Si ha
f ′ (ρ) = 4ρ3 + 36ρ
8ρ 3
− 3 ρ 4 + 18ρ 2 − 27
8ρ 4
= (−9 + ρ2 ) 2
8r 4
e si annulla solo per ρ = 3, quindi f è monotona crescente. Ma allora i minimi di ρ sono assunti per
cos 3θ = −1, ovvero θ1 = π/3, θ2 = 5π/3, θ3 = π e i massimi per cos 3θ = 1, ovvero θ = 0, θ = 2/3π,
θ = 4π/3. Il valore minimo di ρ risolve f(ρ) = −1, e in particolare è assunto nel punto rappresentato
dalle coordinate polari (ρmin, π). Analogamente, il valore massimo di ρ risolve f(ρ) = 1, e in particolare
è assunto nel punto rappresentato dalle coordinate polari (ρmax, 0). Studiamo f(ρ) = −1 ovvero
ρ 4 + 8ρ 3 + 18ρ 2 − 27 = 0
Cerchiamo soluzione intere di questa equazione tra i divisori di 27, ovvero ±1, ±3, ±9. Si ha che 1 è
soluzione, quindi:
ρ 4 + 8ρ 3 + 18ρ 2 − 27 = (ρ − 1)(ρ 3 + bρ 2 + cρ + d) = ρ 4 + (b − 1)ρ 3 + (c − b)ρ 2 + (d − c)ρ − d)
da cui b = 9, c = 27, d = 27, pertanto:
≥ 0,
ρ 4 + 8ρ 3 + 18ρ 2 − 27 = (ρ − 1)(ρ 3 + 9ρ 2 + 27ρ + 27) = (ρ − 1)(ρ + 3) 3
Solo ρ = 1 è soluzione positiva, quindi accettabile, ed è il valore minimo di ρ. Per quanto riguarda il
valore massimo, studiamo f(ρ) = +1 ovvero
ρ 4 − 8ρ 3 + 18ρ 2 − 27 = 0
Cerchiamo soluzione intere di questa equazione tra i divisori di 27, ovvero ±1, ±3, ±9. Si ha che −1 è
soluzione, quindi:
ρ 4 − 8ρ 3 + 18ρ 2 − 27 = (ρ + 1)(ρ 3 + bρ 2 + cρ + d) = ρ 4 + (b + 1)ρ 3 + (c + b)ρ 2 + (d + c)ρ + d)
da cui b = −9, c = 27, d = −27, pertanto:
ρ 4 + 8ρ 3 + 18ρ 2 − 27 = (ρ + 1)(ρ 3 − 9ρ 2 + 27ρ − 27) = (ρ − 1)(ρ − 3) 3 ,
che ammette soluzione accettabile ρ = 3, che rappresenta il massimo di ρ. Quindi il massimo di ρ 2 è
9.