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8. DIFFERENZIALI PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 31
(2) la funzione Ψ è sempre derivabile (e quindi differenziabile) nelle variabili α, β, essendo:
∂βΨ(x, α, β) = f(x, β), ∂αΨ(x, α, β) = −f(x, α)
(3) supponiamo X ≈ Kn spazio di dimensione finita. Se ∂if(x, t), i = 1...n esistono continue, allora
Ψ(x, α, β) è differenziabile con continuità (sui reali, le variabili α, β sono reali), e si ha:
Ψ ′ n
β
(x, α, β)(h, △α, △β) = ∂jf(x, t) dt hj + f(x, β)△β − f(x, α)△α
j=1
α
con h = (h1, ..., hn) ∈ Kn .
(4) se x ↦→ α(x), x → β(x) denotano funzioni R-differenziabili a valori in I, α, β : E → I ⊆ R, allora
è differenziabile e si ha:
∂kG(x) =
β(x)
α(x)
G(x) =
β(x)
α(x)
f(x, t) dt
∂kf(x, t) dt + f(x, β(x))∂kβ(x) − f(x, α(x))∂kα(x)
Esercizio 8.15. Calcolare le derivate parziali ed il differenziale delle seguenti funzioni f : R 2 → R:
(1) f(x, y) = x 2 sin y;
(2) f(x, y) = |x|;
(3) f(x, y) = |xy|;
(4) f(x, y) = |x| + |y|;
(5) f(x, y) = |xy|;
(6) f(x, y) = sign(2 − x 2 − y 2 ) |2 − x 2 − y 2 |;
Svolgimento.
(1) ∂xf(x, y) = 2x sin y, ∂yf(x, y) = x 2 cos y. Queste derivate parziali sono continue su tutto R 2 , quindi
la funzione è differenziabile su tutto R 2 e Df(x, y) = 2x sin y dx + x 2 cos y dy.
(2) ∂xf(x, y) = sign(x)
2 √ |x| se x = 0, ∂yf(x, y) = 0. La funzione è differenziabile in R 2 \ ({0} × R) e il suo
differenziale è Df(x, y) = sign(x)
2 √ |x| dx
(3) ∂xf(x, y) = |y|sign(x), ∂yf(x, y) = |x|sign(y). La funzione è differenziabile nei punti dove xy = 0, e il
suo differenziale vale Df(x, y) = |y|sign(x) dx + |x|sign(y) dy.
(4) ∂xf(x, y) = sign(x), ∂yf(x, y) = sign(y). La funzione è differenziabile nei punti dove xy = 0 e il suo
differenziale vale Df(x, y) = sign(x) dx + sign(y) dy.
(5) ∂xf(x, y) =
y
2 √ |xy| sign(xy), ∂yf(x, y) = x
2 √ sign(xy). La funzione è differenziabile nei punti dove
|xy|
xy = 0 e il suo differenziale vale Df(x, y) = y
2 √ x
sign(xy) dx +
|xy| 2 √ sign(xy) dy.
|xy|
x
(6) ∂xf(x, y) = −√
, ∂yf(x, y) = −√
y
. La funzione è differenziabile in tutti i punti di
|2−x2−y2 | |2−x2−y2 |
R2 ad eccezione della circonferenza x2 + y2 = 2, e il differenziale è dato da
x
y
Df(x, y) = −
dx − dy
|2 − x2 − y2 | |2 − x2 − y2 |
Esercizio 8.16. Sia v = (1/ √ 2, 1/ √ 2, 0). Si calcoli la derivata in direzione v nel punto (0, 0, 0) della
funzione f(x, y, z) = (2x − 3y + 4z) cos(xyz).
Svolgimento. Calcoliamo le derivate parziali di f:
∂xf(x, y, z) = 2 cos(xyz) − yz(2x − 3y + 4z) sin(xyz)
∂yf(x, y, z) = −3 cos(xyz) − xz(2x − 3y + 4z) sin(xyz)
∂zf(x, y, z) = 4 cos(xyz) − xy(2x − 3y + 4z) sin(xyz).
Le derivate sono continue su R 3 , quindi la funzione è differenziabile su R 3 . Per definizione, si ha
∂f
∂u (0, 0, 0) = Df(0, 0, 0)u = ∂xf(0,
√
2
0, 0)ux + ∂yf(0, 0, 0)uy + ∂zf(0, 0, 0)uz = −
2 .