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Derivando si ottiene:
12. MASSIMI E MINIMI VINCOLATI PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 49
h ′ (θ) = 8 sin θ cos θ + 12 sin θ = 4 sin θ(2 cos θ + 3)h ′′ (θ) = 4 cos θ(2 cos θ + 3) + 4 sin θ(−2 sin θ)
Si ha h ′ (θ) = 0 per θ = 0, π e h ′′ (0) = 20 > 0 e h ′′ (π) = −4 < 0, quindi (2, 0) è di minimo e (−2, 0) è di
massimo.
Esercizio 12.7. Trovare il massimi e minimi della funzione f(x, y) = x(x 2 + y 2 ) sotto la condizione xy = 1.
Svolgimento. Osserviamo che l’insieme che definisce il vincolo non è compatto e la funzione non ammette
massimi o minimi assoluti (lo si verifichi lungo la curva γ(t) = (t, 1/t) per t → ±∞). Si ha L(x, y, λ) =
x(x 2 + y 2 ) + λxy, le cui derivate sono ∂xL(x, y, λ) = 3x 2 + y 2 + λy e ∂yL(x, y, λ) = 2yx + λx = x(2y + λ). Esse
debbono essere entrambe nulle. Dalla seconda si ricava x = 0 oppure y = −λ/2. Tuttavia x = 0 non rispetta
il vincolo, pertanto si ha y = −λ/2. Si deve quindi avere λ = 0 per rispettare il vincolo, e quindi x = −2/λ.
Sostituendo nella prima equazione si trova:
3 4 λ2 λ2
+ −
λ2 4 2
12 λ2
= 0 ⇐⇒ =
λ2 4 ,
le cui soluzioni reali sono λ = ±2 4√ 3. I punti da studiare sono quindi ±(1/ 4√ 3, 4√ 3). Si ha f(1/ 4√ 3, 4√ 3) = 4/3 3/4
massimo relativo e e f(−1/ 4√ 3, − 4√ 3) = −4/3 3/4 minimo relativo.
Si poteva procedere anche nel modo seguente: poiché x = 0 non rispetta il vincolo, poniamo y = 1/x e studiamo
h(x) = f(x, 1/x) = x 3 + 1/x. La derivata è h ′ (x) = 3x 2 − 1/x 2 , essa si annulla se 3x 4 = 1, quindi x = ±1/ 4√ 3
Si ha poi h(1/ 4√ 3) = 4/3 3/4 massimo relativo e h(−1/ 4√ 3) = −4/3 3/4 minimo relativo.
Esercizio 12.8. Trovare il massimi e minimi della funzione f(x, y) = e x + e y sotto la condizione x + y = 2.
Svolgimento. Posto g(x, y) = x + y − 2, osserviamo che il vincolo S = {(x, y) : g(x, y) = 0} non è
compatto. La funzione non ammette massimo assoluto (lo si verifichi sulla curva γ(t) = (t, 2 − t) per t → +∞.
Se (xn, y2) è una qualunque successione che tende all’infinito rispettando il vincolo si ha che una delle due
componenti tende a +∞ e l’altra tende a −∞, ciò implica che esiste il limite di fS per (x, y) → ∞, (x, y) ∈ S e
vale +∞. Per cui f ammette minimo assoluto. Si ha L(x, y, λ) = e x + e y + λ(x + y − 2), le cui derivate sono
∂xL(x, y, λ) = e x + λ e ∂yL(x, y, λ) = e y + λ Esse debbono essere entrambe nulle. Si ha quindi e x = e y = −λ da
cui per la stretta monotonia dell’esponenziale x = y. Sostituendo nel vincolo, si ottiene x = y = 1 come unico
punto critico vincolato, che quindi è di minimo assoluto e f(1, 1) = 2e.
Si poteva anche procedere nel modo seguente: si ha x = 2 − y, per cui
h(y) = f(2 − y, y) = e 2−y + e y .
Derivando si ottiene h ′ (y) = −e 2−y + e y , essa si annulla se −e 2 + e 2y = 0, quindi y = 1 il che implica x = 1. La
derivata seconda è h ′′ (y) = e 2−y + e y e h ′′ (1) = 2e > 0, quindi (1, 1) è di minimo assoluto.
Esercizio 12.9. Fra tutti i parallelepipedi retti a base rettangolare inscritti in un ellissoide, trovare quello
di volume massimo.
Svolgimento. L’ellissoide E di semiassi a, b, c > 0 centrato nell’origine ha equazione
x 2
= 1
a b c2 Un parallelepipedo retto P centrato nell’origine è [−x, x] × [−y, y] × [−z, z] e il suo volume è V (x, y, z) = 8xyz
con x, y, z ≥ 0. Si noti che P è inscritto in E se e solo se (x, y, z) ∈ E. Pertanto il problema è di massimizzare
V soggetto al vincolo E.
2 x y2 z2
L(x, y, z, λ) = 8xyz + λ + + − 1
a2 b2 c2 Osserviamo che se una tra x, y, z è nulla, allora V = 0 e quindi non è di certo un massimo, pertanto si deve
avere xyz > 0 Le derivate sono: ⎧
⎪⎨ ∂xL(x, y, z, λ) = 8yz + 2λx/a
⎪⎩
2
∂yL(x, y, z, λ) = 8xz + 2λy/b2 ∂xL(x, y, z, λ) = 8xy + 2λz/c2 Esse devono essere tutte nulle. Si ha λ = 0, altrimenti si avrebbe yz = 0 e quindi una delle coordinate sarebbe
nulla. Moltiplicando la prima equazione per x = 0, la seconda per y = 0 e la terza per z = 0 si ottiene
x2 /a2 = y2 /b2 = z2 /c2 . Sostituendo nell’espressione del vincolo si ottiene x = a/ √ 3, y = b/ √ 3, z = c/ √ 3, e il
volume massimo è V = 8abc/(3 √ 3). Nel caso particolare di una sfera di raggio r > 0, si ha a2 = b2 = c2 = r2 ,
e si ottiene quindi un cubo x = y = z = r/ √ 3.
y2 z2
+ + 2 2