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102 21. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA DI STOKES, FORMULE DI GAUSS-GREEN - CONTINUAZIONE
c) L + e L − saranno le superfici “laterali” date da
L + = {(r cos θ, r sin θ, z) : θ = π/4, 0 ≤ r ≤ 1 + 2z 2 , |z| ≤ 1},
L − = {(r cos θ, r sin θ, z) : θ = π/4, 0 ≤ r ≤ 1 + 2z 2 , |z| ≤ 1}.
con normali rispettivamente (− √ 2/2, √ 2/2, 0) e (− √ 2/2, − √ 2/2, 0).
Se orientiamo Σ con la normale uscente a C, notiamo come essa nel punto (1, 0, 0) valga (1, 0, 0), quindi
l’orientamento richiesto è quello opposto a quello della normale uscente. Per il teorema della divergenza, si ha
che se Σ è orientata con la normale uscente
− F · ˆn dσ =
F · ˆn dσ,
quindi il flusso richiesto dall’esericizio è proprio
Σ
S + ∪S − ∪L + ∪L −
S + ∪S − ∪L + ∪L −
F · ˆn dσ,
dove la normale è uscente da C. Calcoliamo questi integrali. Se (x, y, z) ∈ L + si ha F · ˆn = 0 pertanto il
flusso attraverso L + è nullo. Osserviamo che si ha F (x, y, 1) = F (x, y, −1), inoltre se (x, y, 1) ∈ S + si ha che
(x, y, −1) ∈ S − e viceversa. Ma allora se ˆn è normale uscente a C, F · ˆn(x, y, 1) = − F · ˆn(x, y, −1) per ogni
(x, y, 1) ∈ S + e (x, y, −1) ∈ S − , quindi:
Per esercizio calcoliamo comunque:
F · ˆn dσ = F3(x, y, z) dσ =
S +
S +
S +
F · ˆn dσ +
S− F · ˆn dσ = 0.
S +
(x 2 + y 2 ) dσ =
Pertanto il flusso richiesto dall’esercizio si riduce al calcolo di:
F · ˆn dσ.
Se (x, y, z) ∈ L − si ha
Inoltre L − è parametrizzata da
ψ(r, z) =
La matrice Jacobiana della parametrizzazione è:
L −
√
F
2
· ˆn = −√
1 + 2z2 .
√ 2 π/2
0
−π/2
√
2
2 r,
√
2
r, z , z ∈ [−1, 1], r ∈ [0,
2 1 + 2z2 ].
⎛
Jac ψ(r, z) = ⎝
√ 2/2 0
√ 2/2 0
0 1
⎞
⎠
r 2 r drdθ = π
2 .
Per la regola di Binet, per trovare l’elemento di superficie 2-dimensionale dobbiamo considerare tutti i minori
di ordine 2, e sommarne i quadrati dei determinanti estraendo la radice.
ω2(∂rψ, ∂zψ) = det 2
√
√
2/2 0
+ det
2/2 0
2
√
2/2 0
+ det
0 1
2
√
2/2 0
= 1.
0 1
Si ha quindi
L −
F · ˆn dσ = −
L− √ 1
2
√ dσ = −
1 + 2z2 −1
√ 1+2z2 0
Pertanto il flusso richiesto dall’esercizio è −2 √ 2.
√
2
√
1 + 2z2 drdz = −√ 1
2 dz = −2
−1
√ 2.