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6. SUCCESSIONI E CONVERGENZA UNIFORME 21
il termine di destra tende a zero, quindi la convergenza è uniforme su tutto [0, +∞[.
Esercizio 6.4. Si studi la convergenza puntuale ed uniforme della successione di funzioni fn : R2 → R
2
definita da fn(x, y) =
n (x + y)
1 + n2n (x2 + y2 ) .
Svolgimento. Si ha convergenza puntuale di fn alla funzione f(x, y) = 0 identicamente nulla su tutto R 2 ,
infatti fn(0, 0) = 0, quindi limn→∞ fn(0, 0) = 0 e se (x, y) = (0, 0) si ha:
|fn(x) − f(x)| = |fn(x)| ≤ 1
n
|x + y|
(x 2 + y 2 )
e il termine di destra tende a zero se n → ∞. Nella maggiorazione si è sfruttato il fatto che 1 + n2n (x2 + y2 ) >
n2n (x2 + y2 ), pertanto
1
1 + n2n (x2 + y2 ) <
1
n2n (x2 + y2 ) .
Se la successione fn convergesse uniformemente, il suo limite uniforme dovrebbe coincidere con il limite puntuale,
e quindi essere la funzione f identicamente nulla. La forma delle funzioni fn ci suggerisce un passaggio in
coordinate polari. Calcoliamo pertanto:
sup
(x,y)∈R2 |fn(x, y) − f(x, y)| = sup
(x,y)∈R2 |fn(x, y)| = sup
ρ≥0
θ∈[0,2π]
|fn(ρ cos θ, ρ sin θ)|
= sup
ρ≥0
θ∈[0,2π]
2nρ 1 + n2n | cos θ + sin θ|
ρ2 D’altra parte è noto o dovrebbe esserlo 1 che | cos θ + sin θ| ≤ √ 2 e i θ ∈ [0, 2π] che realizzano l’uguaglianza sono
θ1 = π/4 e θ2 = 5π/4. Perciò
sup |fn(ρ cos θ, ρ sin θ)| = sup
ρ≥0
ρ≥0
θ∈[0,2π]
2 n√ 2ρ
1 + n2 n ρ 2 = √ 2 sup
ρ≥0
2 n ρ
1 + n2 n ρ 2
Studiamo ora la funzione Fn : [0, +∞[→ R, Fn(ρ) = 2n ρ
1+n2 n ρ 2 . Si ha Fn(0) = 0, lim
ρ→+∞ Fn(ρ) = 0 e
F ′ n(ρ) = 2n − 4 n nρ 2
(2 n nρ 2 + 1) 2
che si annulla in un unico punto ρn = 1/ √ n2n . Tale punto è un punto di massimo assoluto per la funzione Fn,
quindi:
|fn(ρ cos θ, ρ sin θ)| = √ 2Fn (ρn) = √ 2
2
n
2 √ n2n sup
ρ≥0
θ∈[0,2π]
L’ultimo termine tende a +∞ per n → +∞, quindi non si ha convergenza uniforme su tutto R 2 .
Per determinare gli insiemi dove si ha convergenza uniforme, osserviamo che l’insieme dei punti di massimo:
{(ρn cos θ1, ρn sin θ1), (ρn cos θ2, ρn sin θ2)}
ammette (0, 0) come unico punto di accumulazione.
Cerchiamo quindi di provare che vi è convergenza uniforme nei complementari degli intorni di (0, 0). Possiamo
limitarci ai complementari delle palle centrate in (0, 0) di raggio ¯ρ > 0. Con calcoli analoghi ai precedenti, si ha
sup |fn(x, y) − f(x, y)| = sup |fn(x, y)| =
(x,y)∈R\B((0,0),¯ρ)
(x,y)∈R\B((0,0),¯ρ)
sup
ρ≥¯ρ
θ∈[0,2π]
|fn(ρ cos θ, ρ sin θ)|
= √ 2 sup
ρ≥¯ρ
2 n√ 2ρ
1 + n2 n ρ 2 = √ 2 sup
ρ≥¯ρ
1 Per provarlo, consideriamo la funzione g(θ) := cos θ + sin θ su [0, 2π], deriviamo e annulliamo la derivata, si ottiene 0 =
− sin θ + cos θ da cui, posto θ = π/2, 3/2π, si ottiene tan θ = 1, le cui soluzioni sono θ1 = π/4 e θ2 = 5π/4; si ha
F (ρ)
|g(θ1)| = |g(θ2)| = √ 2 > 1 = |g(π/2)| = |g(3π/2)| = |g(0)| = |g(2π)|