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22. FORME DIFFERENZIALI 117
γ1(x) = (x, 0) per 0 ≤ x ≤ x0 (oppure x0 ≤ x ≤ 0) e γ2(y) = (x0, y) per −1 < y < y0 < 0 (oppure
y0 ≤ y ≤ −1).
V −
(x0, y0) = h(x, y)ω(x, y) + h(x, y)ω(x, y)
=
γ1
x0
0
γ2
y0
−1 dx + x0 −
−1
1
y
= −x0 + [x0y − log |y|] y=y0
y=−1 = x0 + x0y0 − log |y0| + x0
= x0y0 − log |y0| = x0y0 − log(−y0),
ricordando che y0 < 0. Pertanto V − (x, y) = xy − log y, definito per y < 0 e le soluzioni in H − sono
date da V − (x, y) = c, c ∈ R.
Possiamo raggruppare le due espressioni definendo V (x, y) = xy − log |y| in R 2 \ {y = 0} e le soluzioni
in R 2 \ {y = 0} saranno date da xy − log |y| = c, c ∈ R
dy