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142 27. SERIE DI FOURIER E METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI
Pertanto si ha per |x| ≤ π
da confrontare con
x = π 2
−
2 π
∞
n=1
(1 − (−1) n )
n 2
x = 2a0 + a1 cos x +
cos(nx) = π 4 2
− cos x −
2 π π
∞
n=2
an
∞ 1 − (−1) n
cos(nx),
n=1
n 2 − 1 cos(nx).
Ne segue che a0 = π
4 , a1 = − 4
π , e a2k = 0 e a2k+1 = − 4 1
π 4k(1 + k)(2k + 1) 2
ottiene:
u(x, t) = π
4 (1 − e−2t ) − 4
π te−t cos x − 2
∞ e
π
−t sin( 4k(1 + k) t)
4k(1 + k)(2k + 1) 2
k=1
n 2
per k ∈ N, k ≤ 1. Pertanto si
cos((2k + 1)x),
il termine generale della serie è maggiorato uniformemente rispetto a (t, x) in modulo da 1/(2k + 1) 2 che è
termine generale di una serie convergente, quindi la serie converge totalmente, dunque uniformemente.
Esercizio 27.6. Si determini col metodo di separazione di variabili la soluzione (sotto forma di serie)
dell’equazione di reazione-diffusione-trasporto sul segmento [0, π]:
ut − uxx − 2ux − u = 0, x ∈ [0, π], t > 0
con dati al contorno di Dirichlet omogenei u(0, t) = u(π, t) = 0 ∀ t > 0, assumendo come dato iniziale u(x, 0) =
x(π − x)e −x per 0 ≤ x ≤ π. Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta.
Svolgimento. Cerchiamo soluzioni u(t, x) = U(t)X(x), sostituendo nell’equazione si ha:
˙U(t)X(x) − U(t) ¨ X(x) − 2U(t) ˙ X(x) − U(t)X(x) = 0,
e supponendo che u(t, x) = U(t)X(x) = 0 per ogni (t, x) si ottiene dividendo per tale espressione:
˙U(t)
U(t) − ¨ X(x)
X(x) − 2 ˙ X(x)
− 1 = 0,
X(x)
ovvero:
˙U(t)
U(t) = ¨ X(x) + 2 ˙ X(x)
+ 1 = λ ∈ R,
X(x)
Consideriamo a questo punto le equazioni:
˙U(t) = λU(t)
¨X(x) + 2 ˙ X(x) + (1 − λ)X(x) = 0.
Dalle condizioni al contorno u(0, t) = u(π, t) = 0 per ogni t > 0, si ricava che X(0) = X(π) = 0, pertanto
cerchiamo i λ ∈ R tali per cui vi sia soluzione non identicamente nulla per:
¨X(x) + 2 ˙ X(x) + (1 − λ)X(x) = 0
X(0) = X(π) = 0.
L’equazione caratteristica dell’equazione è µ 2 + 2µ + 1 − λ = 0, da cui si ricavano
µ1 = −1 − 1 − (1 − λ) = −1 − √ λ, µ2 = −1 + √ λ.
Quindi per λ > 0 si ottiene che l’equazione ammette al variare di c1, c2 ∈ R le soluzioni
X(x) = c1e µ1t + c2e µ2t .
Verifichiamo la compatibilità con i dati iniziali. Da X(0) = 0 si ricava che c1 + c2 = 0, e da X(π) = 0 si ha:
0 = c1(e µ1π − e µ2π ). Poiché µ1 = µ2 si ottiene che l’unica possibilità è avere c1 = c2 = 0, quindi se λ > 0 l’unica
soluzione compatibile è la soluzione identicamente nulla, non accettabile.
Se λ = 0, si ha µ1 = µ2 = −1. L’equazione ammette al variare di c1, c2 ∈ R le soluzioni
X(x) = c1e −t + c2te −t .
Verifichiamo la compatibilità con i dati iniziali. Da X(0) = 0 si ricava che c1 = 0 e da X(π) = 0 si ottiene
c2πe −π = 0, quindi c2 = 0 e si ottiene solo la soluzione identicamente nulla, non accettabile.
Studiamo ora il caso λ < 0 e poniamo ω = |λ|. Per λ < 0 si ottiene che le radici dell’equazione caratteristica
sono µ1 = −1 − iω e µ2 = −1 + iω, e quindi l’equazione ammette al variare di c1, c2 ∈ C, d1, d2 ∈ R le soluzioni
X(x) = c1e −t e −iωx + c2e −x e iωx = e −x c1e −iωx + c2e iωx = e −x (d1 cos ωx + d2 sin ωx) .