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26 7. SERIE DI FUNZIONI
pertanto la serie converge puntualmente per ogni x > 0.
Sia ora c > 0 fissato e calcoliamo il sup del termine generale
fn(x) = e−nx
n + x , f ′ n(x) = −e −nx 1 + n2 + nx
(n + x) 2 .
Quindi f ′ n(x) = 0 per x = −(1 + n 2 )/n < 0, e la funzione fn(x) è decrescente su [c, +∞[. Si ha allora che
e quindi
∞
sup |fn(x)| = fn(c),
x∈]c,+∞[
sup
n=0
x∈]c,+∞[
|fn(x)| =
∞
fn(c),
e l’ultimo termine converge per la convergenza puntuale. Quindi si ha convergenza totale su ]c, +∞[.
Verifichiamo che la convergenza non è uniforme su ]0, +∞[. Per ogni M > N si ha:
∞ e
sup
−nx
n + x −
N e−nx
∞
e
= sup
n + x
−nx
M
e
≥ sup
n + x
−nx
n + x
x>0
n=0
Valutiamo l’espressione lungo una successione {xj}j∈N con xj → 0 + :
M
e
sup
x>0
−nx
M
e
≥ lim
n + x
j→∞
−nxj
n + xj =
M
1
n
.
n=N
n=0
x>0
n=0
x>0
n=N
n=N
Poiché la serie ∞ n=N 1
n diverge a +∞, esiste M > 0 tale per cui M
∞ e
sup
−nx
n + x −
N e−nx
> N
n + x
n=0
n=0
x>0
n=N
n=N 1
n
n=N
> N, da cui
Pertanto al limite per N → ∞ si ha +∞, che prova come non vi sia convergenza uniforme in ]0, +∞[.
∞ n
Esercizio 7.4. Data la serie
n3 , dimostrare che converge puntualmente e totalmente in [0, +∞[.
+ x
n=1
Svolgimento. Il termine generale è maggiorato dalla funzione 1/n2 su [0, +∞[, pertanto
∞
sup
n
n3
+ x
≤
+∞ 1
< +∞,
n2 n=1
x≥0
da cui la convergenza totale.
∞ n + x
Esercizio 7.5. Data la serie
n
n=1
3 , dimostrare che converge puntualmente in [0, +∞[ e totalmente sui
+ x
compatti di [0, +∞[. Provare che la convergenza non è uniforme su [0, +∞[.
Svolgimento. Sia K compatto di [0, +∞[, esiste R > 0 tale che B(0, R) ⊇ K. Si ha allora:
∞
sup
n + x
n3
+ x
≤
+∞ n + R
n3 =
+∞
∞ 1 1
+ R < +∞,
n2 n3 n=1
x∈K
n=1
ciò prova la convergenza totale sui compatti di [0, +∞[ e quindi la convergenza puntuale su [0, +∞[. Proviamo
che la convergenza non è uniforme su [0, +∞[:
∞ n + x
sup
n3 + x −
N n + x
n3
2N
n + x
= sup
+ x
n3
+ x
x≥0
n=1
Valutando il sup su una successione xj che tenda all’infinito, si ha:
2N n + x
sup
n3
+ x
≥
2N
1 = N,
e l’ultimo termine diverge.
x≥0
n=N
n=1
n=1
n=1
n=N
x≥0
n=N
n=1