pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

42 10. MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - CONTINUAZIONE
Studiamo ora gli estremali relativi. Calcoliamo le derivate parziali:
∂xf(x, y, z) = −2 cos x sin x = − sin(2x)
∂yf(x, y, z) = 2y − 2
∂zf(x, y, z) = 2αz.
∂ 2 xxf(x, y, z) = −2 cos(2x)
∂ 2 yyf(x, y, z) = 2
∂ 2 zzf(x, y, z) = 2α
∂ 2 xyf(x, y, z) = ∂ 2 xzf(x, y, z) = ∂ 2 zyf(x, y, z) = 0.
Distinguiamo due casi:
(1) Supponiamo α = 0. Allora i punti critici sono Pk = (kπ/2, 1, 0), k ∈ Z. Si ha ∂2 xxf(Pk) = 2(−1) k+1 ,
∂2 yyf(Pk) = 2 e ∂2 zz(Pk) = 2α, le altre derivate seconde sono tutte nulle. Si ha quindi
D 2 f(Pk) =
⎛
⎝ 2(−1)k+1 0 0
0 2 0
0 0 2α
Se α > 0, il punto Pk è un minimo per k dispari e una sella per k pari. Se Pk è di minimo, allora
f(Pk) = 0. Se invece α < 0 i punti Pk sono tutti di sella.
(2) Supponiamo α = 0. Allora i punti critici sono Pkz = (kπ/2, 1, z), k ∈ Z, z ∈ R. Si ha ∂2 xxf(Pk) =
2(−1) k+1 , ∂2 yyf(Pk) = 2, le altre derivate seconde sono tutte nulle. Si ha quindi
D 2 f(Pkz) =
⎛
⎝ 2(−1)k+1 0 0
0 2 0
0 0 0
La matrice è semidefinita, quindi la teoria generale ci dice che non potremmo concludere nulla. Tuttavia
per ogni z si ha che f(x, y, z) = f(x, y, 0) perché la funzione non dipende da z. In particolare, detta
g(x, y) = f(x, y, 0) = f(x, y, z), si ha che (x, y, z) è estremale relativo di f se e solo se lo è per g. La
matrice hessiana di g nei punti Qk = (kπ/2, 1) è
D 2 g(Qk) =
2(−1) k+1 0
0 2
Poiché Pkz = (Qk, z), si ha che il punto Pkz è un minimo per k dispari e una sella per k pari. Se Pkz
è di minimo, allora f(Pkz) = 0.
Riassumendo:
(1) Per α > 0 la funzione non ammette massimi assoluti, i punti critici sono Pk = (kπ/2, 1, 0), k ∈ Z, e
tali punti sono minimi relativi e assoluti per k dispari e selle per k pari. Il valore minimo di f è 0.
(2) Per α < 0 la funzione non ammette né minimi, né massimi assoluti, i punti critici sono Pk = (kπ/2, 1, 0),
k ∈ Z, e sono tutti punti di sella.
(3) Per α = 0, la funzione non ammette massimi assoluti, i punti critici sono Pkz = (kπ/2, 1, z), k ∈ Z,
z ∈ R, e sono minimi relativi e assoluti per k dispari, e selle per k pari. Il valore minimo di f è 0.
Esercizio 10.3. Si calcolino al variare di n ∈ N \ {0} i punti di massimo e minimo locali e assoluti della
funzione f : R 2 → R definita da
fn(x, y) = (x 2 + 3xy 2 + 2y 4 ) n .
Svolgimento. La funzione fn si può scrivere come composizione delle funzioni g : R 2 → R definita da
g(x, y) = x 2 + 3xy 2 + 2y 4 e h(s) = s n , h : R → R, infatti:
f(x, y) = h(g(x, y)).
Distinguiamo ora i casi n dispari e n pari:
(1) La funzione h è strettamente crescente per n dispari. Pertanto per n dispari si ha
f(x1, y1) = h(g(x1, y1)) > h(g(x2, y2)) = f(x2, y2) ⇐⇒ g(x1, y1) > g(x2, y2)
quindi i punti di massimo e minimo relativi e assoluti di f sono esattamente i punti rispettivamente
di massimo e minimo relativo e assoluto di g, e pertanto non dipendono da n (purché n sia dispari).
⎞
⎠ .
⎞
.
⎠ .